微分積分例

$\int_{1}^{e} x^{3} \ln (x) d x$

ステップ 1

$u = \ln (x)$ と $d v = x^{3}$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x) (\frac{1}{4} x^{4})]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{4}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$\ln (x) \frac{x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

ステップ 2.2

$\ln (x)$ と $\frac{x^{4}}{4}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{4} x^{4} \frac{1}{x} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{4} \frac{1}{x} d x)$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x^{4}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x^{4}}{x} d x)$

ステップ 4.2

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x} d x)$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} d x)$

ステップ 4.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} d x)$

ステップ 4.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} \frac{x^{3}}{1} d x)$

ステップ 4.2.2.5

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - (\frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{3} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \frac{1}{4} \int_{1}^{e} x^{3} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{4} x^{4}$ です。

$\frac{\ln (x) x^{4}}{4}]_{1}^{e} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{e}$

ステップ 6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1

$e$ および $1$ で $\frac{\ln (x) x^{4}}{4}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (e) e^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{1}{4} \frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{e}$

ステップ 6.2

$e$ および $1$ で $\frac{1}{4} x^{4}$ の値を求めます。

$(\frac{\ln (e) e^{4}}{4}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{4}}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 6.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1) \cdot 1}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 6.4

$\ln (1)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} ((\frac{1}{4} e^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 6.5

$\frac{1}{4}$ と $e^{4}$ をまとめます。

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

ステップ 6.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1)$

ステップ 6.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{\ln (1)}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

ステップ 6.8

簡約します。

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ステップ 6.8.1

$- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot \frac{4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

ステップ 6.8.2

$- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{\ln (e) e^{4}}{4} + \frac{- \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

ステップ 6.8.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\ln (e) e^{4} - \frac{1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4}) \cdot 4}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

ステップ 6.8.4

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\ln (e) e^{4} - 4 (\frac{1}{4}) (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

ステップ 6.8.5

$- 4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{- 4}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

ステップ 6.8.6

$- 4$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.8.6.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

ステップ 6.8.6.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.8.6.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

ステップ 6.8.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

ステップ 6.8.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\ln (e) e^{4} + \frac{- 1}{1} (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

ステップ 6.8.6.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{\ln (e) e^{4} - (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\ln (e) e^{4} - (\frac{e^{4}}{4} - \frac{1}{4})}{4} - \frac{\ln (1)}{4}$

10進法形式：

$10.29965313 \dots$

微分積分 例

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