微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + x}{4 \sin (2 x) - 3 x}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

ステップ 1.2.2

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

ステップ 1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

ステップ 1.2.4

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

ステップ 1.2.4.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

ステップ 1.2.5

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{3 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

ステップ 1.2.5.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

ステップ 1.2.5.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - 3 x}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.2

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{4 lim_{x \to 0} \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.3

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{4 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.4

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{4 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

ステップ 1.3.5

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{4 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.3.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 \sin (2 \cdot 0) - 3 lim_{x \to 0} x}$

ステップ 1.3.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 \sin (2 \cdot 0) - 3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{4 \sin (0) - 3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.7.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{4 \cdot 0 - 3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.7.1.3

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

ステップ 1.3.7.1.4

$- 3$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0 + 0}$

ステップ 1.3.7.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.7.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + x}{4 \sin (2 x) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2} + x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $3 x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

ステップ 3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

ステップ 3.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x) - 3 x]}$

ステップ 3.5

総和則では、 $4 \sin (2 x) - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.6

$\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.6.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \sin (2 x)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.6.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.6.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.6.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.6.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.6.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.6.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.6.5

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.6.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{4 (2 \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.6.7

$2$ に $4$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.7.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3 \cdot 1}$

ステップ 3.7.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{8 \cos (2 x) - 3}$

ステップ 3.8

項を並べ替えます。

$lim_{x \to 0} \frac{6 x + 1}{- 3 + 8 \cos (2 x)}$

ステップ 4

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x + 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

ステップ 5

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 0} 6 x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

ステップ 6

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

ステップ 7

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{lim_{x \to 0} - 3 + 8 \cos (2 x)}$

ステップ 8

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}$

ステップ 9

$x$ が $0$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 1 \cdot 3 + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}$

ステップ 10

$8$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

ステップ 11

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

ステップ 12

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{6 lim_{x \to 0} x + 1}{- 3 + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 13

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{6 \cdot 0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

ステップ 13.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{6 \cdot 0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 14

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$6$ に $0$ をかけます。

$\frac{0 + 1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 14.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{- 3 + 8 \cos (2 \cdot 0)}$

ステップ 14.2

分母を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{- 3 + 8 \cos (0)}$

ステップ 14.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{1}{- 3 + 8 \cdot 1}$

ステップ 14.2.3

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- 3 + 8}$

ステップ 14.2.4

$- 3$ と $8$ をたし算します。

$\frac{1}{5}$

微分積分 例

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