微分積分例

$\int {(1 - x - y)}^{2} d y$

ステップ 1

$u = 1 - x - y$ とします。次に $d u = - d y$ すると、 $- d u = d y$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 1 - x - y$ とします。 $\frac{d u}{d y}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$1 - x - y$ を微分します。

$\frac{d}{d y} [1 - x - y]$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 - x - y$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$ です。

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d y} [- x] + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.1.2.3

$- x$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- x$ の微分係数は $0$ です。

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [- y]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d y} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d y} [y]$ です。

$0 + 0 - \frac{d}{d y} [y]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$0 + 0 - 1$

ステップ 1.1.4

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 1$

ステップ 1.1.4.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int - u^{2} d u$

ステップ 2

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int u^{2} d u$

ステップ 3

べき乗則では、 $u^{2}$ の $u$ に関する積分は $\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 4

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ を $- \frac{1}{3} u^{3} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} u^{3} + C$

ステップ 5

$u$ のすべての発生を $1 - x - y$ で置き換えます。

$- \frac{1}{3} {(1 - x - y)}^{3} + C$

微分積分 例

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