微分積分例

$y = - 2 x^{4} \sqrt{4 x + 5}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 x + 5}$ を ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = - 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- 2 (x^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x + 5$ とします。

$- 2 (x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.3.3

$u$ のすべての発生を $4 x + 5$ で置き換えます。

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.6

公分母の分子をまとめます。

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.8

分数をまとめます。

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ステップ 4.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2} {(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$- 2 (x^{4} (\frac{{(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$- 2 (x^{4} (\frac{1}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.8.4

$\frac{1}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x^{4}$ をまとめます。

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 5] + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.9

総和則では、 $4 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.10

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.12

$4$ に $1$ をかけます。

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [5]) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.13

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.14

項を簡約します。

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ステップ 4.14.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$- 2 (\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.14.2

$\frac{x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ と $4$ をまとめます。

$- 2 (\frac{x^{4} \cdot 4}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.14.3

$4$ を $x^{4}$ の左に移動させます。

$- 2 (\frac{4 \cdot x^{4}}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.14.4

$2$ を $4 x^{4}$ で因数分解します。

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.15

共通因数を約分します。

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ステップ 4.15.1

$2$ を $2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 ({(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.15.2

共通因数を約分します。

$- 2 (\frac{2 (2 x^{4})}{2 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.15.3

式を書き換えます。

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 4.16

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (4 x^{3}))$

ステップ 4.17

$4$ を ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 4 \cdot {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{3})$

ステップ 4.18

公分母を利用して $\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ と $4 {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} x^{3}$ を組み合わせます。

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ステップ 4.18.1

${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 4.18.2

$4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$- 2 (\frac{2 x^{4}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 4.18.3

公分母の分子をまとめます。

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.19

指数を足して ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.19.1

${(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} ({(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.19.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.19.3

公分母の分子をまとめます。

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.19.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.19.5

$2$ を $2$ で割ります。

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} {(4 x + 5)}^{1}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.20

$4 x^{3} {(4 x + 5)}^{1}$ を簡約します。

$- 2 \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.21

$- 2$ と $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{- 2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5))}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.22

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x + 5))}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23

簡約します。

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ステップ 4.23.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (2 x^{4} + 4 x^{3} (4 x) + 4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (2 x^{4}) + 2 (4 x^{3} (4 x)) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.23.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.23.3.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{3} (4 x)) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23.3.1.2

指数を足して $x^{3}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.23.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 (x \cdot x^{3}) \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23.3.1.2.2

$x$ に $x^{3}$ をかけます。

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ステップ 4.23.3.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 (x^{1} x^{3}) \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23.3.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{1 + 3} \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23.3.1.2.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$- \frac{4 x^{4} + 2 (4 x^{4} \cdot 4) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23.3.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$- \frac{4 x^{4} + 2 (16 x^{4}) + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23.3.1.4

$16$ に $2$ をかけます。

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 2 (4 x^{3} \cdot 5)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23.3.1.5

$5$ に $4$ をかけます。

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 2 (20 x^{3})}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23.3.1.6

$20$ に $2$ をかけます。

$- \frac{4 x^{4} + 32 x^{4} + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23.3.2

$4 x^{4}$ と $32 x^{4}$ をたし算します。

$- \frac{36 x^{4} + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23.4

$4 x^{3}$ を $36 x^{4} + 40 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 4.23.4.1

$4 x^{3}$ を $36 x^{4}$ で因数分解します。

$- \frac{4 x^{3} (9 x) + 40 x^{3}}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23.4.2

$4 x^{3}$ を $40 x^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{4 x^{3} (9 x) + 4 x^{3} (10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.23.4.3

$4 x^{3}$ を $4 x^{3} (9 x) + 4 x^{3} (10)$ で因数分解します。

$- \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3} (9 x + 10)}{{(4 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例