微分積分例

$y = \frac{x^{2} - 4}{5 x - 3}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - 4}{5 x - 3})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{2} - 4$ および $g (x) = 5 x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(5 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{(5 x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(5 x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(5 x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(5 x - 3) (2 x) - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.4.2

$2$ を $5 x - 3$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [5 x - 3]}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.5

総和則では、 $5 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.6

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.8

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.9

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) (5 + 0)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.10

式を簡約します。

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ステップ 3.2.10.1

$5$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (5 x - 3) x - (x^{2} - 4) \cdot 5}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.2.10.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (5 x - 3) x - 5 (x^{2} - 4)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 (5 x) + 2 \cdot - 3) x - 5 (x^{2} - 4)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (5 x) x + 2 \cdot - 3 x - 5 (x^{2} - 4)}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (5 x) x + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (5 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{10 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.3

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{10 x^{2} - 6 x - 5 x^{2} - 5 \cdot - 4}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.1.4

$- 5$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{10 x^{2} - 6 x - 5 x^{2} + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 3.3.4.2

$10 x^{2}$ から $5 x^{2}$ を引きます。

$\frac{5 x^{2} - 6 x + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = \frac{5 x^{2} - 6 x + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} - 6 x + 20}{{(5 x - 3)}^{2}}$

微分積分 例

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