微分積分例

$\ln (3 x) e^{5 x}$

ステップ 1

$f (x) = \ln (3 x)$ および $g (x) = e^{5 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\ln (3 x) \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $5 x$ とします。

$\ln (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\ln (3 x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\ln (3 x) (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\ln (3 x) (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\ln (3 x) (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\ln (3 x) (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

ステップ 3.3.2

$5$ を $e^{5 x}$ の左に移動させます。

$\ln (3 x) (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 x$ とします。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + e^{5 x} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + e^{5 x} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + e^{5 x} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{3 x}$ と $e^{5 x}$ をまとめます。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 5.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.3

項を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3$ と $\frac{e^{5 x}}{3 x}$ をまとめます。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{3 e^{5 x}}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{3 e^{5 x}}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.3.2.2

式を書き換えます。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{x} \cdot 1$

ステップ 5.5

式を簡約します。

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ステップ 5.5.1

$\frac{e^{5 x}}{x}$ に $1$ をかけます。

$\ln (3 x) (5 e^{5 x}) + \frac{e^{5 x}}{x}$

ステップ 5.5.2

項を並べ替えます。

$5 e^{5 x} \ln (3 x) + \frac{e^{5 x}}{x}$

微分積分 例

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