微分積分例

$f (t) = \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$

ステップ 1

関数 $F (t)$ は、微分係数 $f (t)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (t) = \int f (t) d t$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (t) = \int \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t$

ステップ 3

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{t}} d t$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{t}$ を $t^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

ステップ 5

$t^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

ステップ 6

${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

ステップ 6.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\int (2 t - 4) t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\int 2 t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 7.3

$t$ を $1$ 乗します。

$\int 2 (t^{1} t^{- \frac{1}{2}}) - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 7.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 t^{1 - \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 7.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int 2 t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 7.6

公分母の分子をまとめます。

$\int 2 t^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 7.7

$2$ から $1$ を引きます。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

ステップ 7.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} d t$

ステップ 7.9

公分母の分子をまとめます。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1 - 1}{2}} d t$

ステップ 7.10

$1$ から $1$ を引きます。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{0}{2}} d t$

ステップ 7.11

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.11.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 (0)}{2}} d t$

ステップ 7.11.2

共通因数を約分します。

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ステップ 7.11.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d t$

ステップ 7.11.2.2

共通因数を約分します。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d t$

ステップ 7.11.2.3

式を書き換えます。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{0}{1}} d t$

ステップ 7.11.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{0} d t$

ステップ 7.12

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 1 d t$

ステップ 7.13

$4$ に $1$ をかけます。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 d t$

ステップ 8

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

ステップ 9

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

ステップ 10

べき乗則では、 $t^{\frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ です。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

ステップ 11

$- 4$ は $t$ に対して定数なので、 $- 4$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

ステップ 12

べき乗則では、 $t^{- \frac{1}{2}}$ の $t$ に関する積分は $2 t^{\frac{1}{2}}$ です。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int 4 d t$

ステップ 13

定数の法則を当てはめます。

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + 4 t + C$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{2}{3}$ と $t^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + 4 t + C$

ステップ 14.2

簡約します。

$\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$

ステップ 14.3

項を並べ替えます。

$\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$

ステップ 15

答えは関数 $f (t) = \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ の不定積分です。

$F (t) =$ $\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$

微分積分 例

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