微分積分例

$y^{2} = 2 + x y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (2 + x y)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 y y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $2 + x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.1.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$0 + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$0 + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + x y' + y \cdot 1$

ステップ 3.2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$0 + x y' + y$

ステップ 3.3

$0$ と $x y' + y$ をたし算します。

$x y' + y$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 y y' = x y' + y$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺から $x y'$ を引きます。

$2 y y' - x y' = y$

ステップ 5.2

$y'$ を $2 y y' - x y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $2 y y'$ で因数分解します。

$y' (2 y) - x y' = y$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $- x y'$ で因数分解します。

$y' (2 y) + y' (- x) = y$

ステップ 5.2.3

$y'$ を $y' (2 y) + y' (- x)$ で因数分解します。

$y' (2 y - x) = y$

ステップ 5.3

$y' (2 y - x) = y$ の各項を $2 y - x$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (2 y - x) = y$ の各項を $2 y - x$ で割ります。

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$2 y - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (2 y - x)}{2 y - x} = \frac{y}{2 y - x}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y}{2 y - x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 y - x}$

微分積分 例

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