微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sin (π x)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

ステップ 1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

ステップ 1.2.1.3

$x$ が $1$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

ステップ 1.2.3.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

ステップ 1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sin (π x)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.1

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 1} π x)}$

ステップ 1.3.1.2

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{\sin (π lim_{x \to 1} x)}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{\sin (π \cdot 1)}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{\sin (π)}$

ステップ 1.3.3.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{0}{\sin (0)}$

ステップ 1.3.3.3

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} - 1}{\sin (π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

ステップ 3.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

ステップ 3.5

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\sin (π x)]}$

ステップ 3.6

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = π x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $π x$ とします。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π x]}$

ステップ 3.6.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (u) \frac{d}{d x} [π x]}$

ステップ 3.6.3

$u$ のすべての発生を $π x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) \frac{d}{d x} [π x]}$

ステップ 3.7

$π$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $π x$ の微分係数は $π \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) (π \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) (π \cdot 1)}$

ステップ 3.9

$π$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{\cos (π x) π}$

ステップ 3.10

$\cos (π x) π$ の因数を並べ替えます。

$lim_{x \to 1} \frac{2 x}{π \cos (π x)}$

ステップ 4

$\frac{2}{π}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{π} lim_{x \to 1} \frac{x}{\cos (π x)}$

ステップ 5

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \cos (π x)}$

ステップ 6

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\cos (lim_{x \to 1} π x)}$

ステップ 7

$π$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\cos (π lim_{x \to 1} x)}$

ステップ 8

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{1}{\cos (π lim_{x \to 1} x)}$

ステップ 8.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{1}{\cos (π \cdot 1)}$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$\frac{1}{\cos (π \cdot 1)}$ を $\sec (π \cdot 1)$ に変換します。

$\frac{2}{π} \sec (π \cdot 1)$

ステップ 9.2

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{π} \sec (π)$

ステップ 9.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{2}{π} (- \sec (0))$

ステップ 9.4

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{2}{π} (- 1 \cdot 1)$

ステップ 9.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{π} \cdot - 1$

ステップ 9.6

$\frac{2}{π} \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.6.1

$\frac{2}{π}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot - 1}{π}$

ステップ 9.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2}{π}$

ステップ 9.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{π}$

微分積分 例

微分積分例