微分積分例

$\ln (1 - x)$

ステップ 1

$\ln (1 - x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \ln (1 - x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \ln (1 - x) d x$

ステップ 4

$u = \ln (1 - x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (1 - x) x - \int x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

ステップ 5

$x$ と $\frac{1}{1 - x}$ をまとめます。

$\ln (1 - x) x - \int - \frac{x}{1 - x} d x$

ステップ 6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (1 - x) x - - \int \frac{x}{1 - x} d x$

ステップ 7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (1 - x) x + 1 \int \frac{x}{1 - x} d x$

ステップ 7.1.2

$\int \frac{x}{1 - x} d x$ に $1$ をかけます。

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{1 - x} d x$

ステップ 7.2

$1$ と $- x$ を並べ替えます。

$\ln (1 - x) x + \int \frac{x}{- x + 1} d x$

ステップ 8

$x$ を $- x + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x$

$0$

ステップ 8.2

被除数 $x$ の最高次項を除数 $- x$ の最高次項で割ります。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

ステップ 8.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

ステップ 8.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x - 1$ の符号をすべて変更します。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

ステップ 8.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

ステップ 8.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\ln (1 - x) x + \int - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

ステップ 9

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (1 - x) x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

ステップ 10

定数の法則を当てはめます。

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

ステップ 11

$u = - x + 1$ とします。次に $d u = - d x$ すると、 $- d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$u = - x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

書き換えます。

$\frac{- 1}{1}$

ステップ 11.1.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1$

ステップ 11.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (1 - x) x - x + C + \int \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 12

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (1 - x) x - x + C + \int - \frac{1}{u} d u$

ステップ 13

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\ln (1 - x) x - x + C - \int \frac{1}{u} d u$

ステップ 14

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (1 - x) x - x + C - (\ln (| u |) + C)$

ステップ 15

簡約します。

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| u |) + C$

ステップ 16

$u$ のすべての発生を $- x + 1$ で置き換えます。

$\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

ステップ 17

答えは関数 $f (x) = \ln (1 - x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\ln (1 - x) x - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

微分積分 例

微分積分例