微分積分例

$\int \frac{\sin (\sqrt{3 x})}{\sqrt{3 x}} d x$

ステップ 1

$u_{1} = 3 x$ とします。次に $d u_{1} = 3 d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{1} = 3 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

ステップ 1.1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

ステップ 1.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$\frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 3} d u_{1}$

ステップ 2.2

$3$ を $\sqrt{u_{1}}$ の左に移動させます。

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{3 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

ステップ 4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u_{1}}$ を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

ステップ 4.3

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

ステップ 4.4

${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

ステップ 4.4.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

ステップ 4.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

ステップ 5

$u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ とします。次に $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ すると、 $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ を微分します。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 5.1.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

ステップ 5.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

ステップ 5.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 5.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

ステップ 5.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

ステップ 5.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

ステップ 5.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 5.1.8

簡約します。

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ステップ 5.1.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.1.8.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{3} \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 6

$2$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{3} (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

ステップ 7

$2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

ステップ 8

$\sin (u_{2})$ の $u_{2}$ に関する積分は $- \cos (u_{2})$ です。

$\frac{2}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

簡約します。

$\frac{2}{3} (- \cos (u_{2})) + C$

ステップ 9.2

$\frac{2}{3}$ と $\cos (u_{2})$ をまとめます。

$- \frac{2 \cos (u_{2})}{3} + C$

ステップ 10

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 10.1

$u_{2}$ のすべての発生を ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$- \frac{2 \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

ステップ 10.2

$u_{1}$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$- \frac{2 \cos ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

積の法則を $3 x$ に当てはめます。

$- \frac{2 \cos (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

ステップ 11.2

項を並べ替えます。

$- \frac{2}{3} \cos (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + C$

微分積分 例

微分積分例