微分積分例

$\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

ステップ 1

$\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$x$ を $2 x^{4} + 4 x^{3} - x$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x$ を $2 x^{4}$ で因数分解します。

$\int \frac{x (2 x^{3}) + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

ステップ 4.1.2

$x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) - x}{x^{3}} d x$

ステップ 4.1.3

$x$ を $- x$ で因数分解します。

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

ステップ 4.1.4

$x$ を $x (2 x^{3}) + x (4 x^{2})$ で因数分解します。

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

ステップ 4.1.5

$x$ を $x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1$ で因数分解します。

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x^{3}} d x$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$\int \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

ステップ 5

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 5.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

ステップ 5.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

ステップ 5.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

ステップ 6

$(2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2}$ を展開します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\int 2 x^{3} x^{- 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 x^{3 - 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 6.4

$3$ から $2$ を引きます。

$\int 2 x^{1} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 6.5

簡約します。

$\int 2 x + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 6.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 x + 4 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 6.7

$2$ から $2$ を引きます。

$\int 2 x + 4 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 6.8

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\int 2 x + 4 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 6.9

$4$ に $1$ をかけます。

$\int 2 x + 4 - 1 x^{- 2} d x$

ステップ 6.10

$4$ を移動させます。

$\int 2 x - 1 x^{- 2} + 4 d x$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\int 2 x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

ステップ 9

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

ステップ 10

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

ステップ 11

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 4 d x$

ステップ 12

定数の法則を当てはめます。

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

ステップ 13

簡約します。

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ステップ 13.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

ステップ 13.2

簡約します。

$x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$

ステップ 14

答えは関数 $f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$

微分積分 例

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