微分積分例

$\ln (e^{x} + x)$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = e^{x} + x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $e^{x} + x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $e^{x} + x$ で置き換えます。

$\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

ステップ 2

総和則では、 $e^{x} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ の因数を並べ替えます。

$(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}$

ステップ 5.2

$e^{x} + 1$ に $\frac{1}{e^{x} + x}$ をかけます。

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$

微分積分 例