微分積分例

$e^{y} = \frac{x^{2}}{y}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{y})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{y} y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.2

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.2.2

$2$ を $y$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot y x - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 3.4

簡約します。

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ステップ 3.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 3.4.2

$x$ を $2 x y - x^{2} y'$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.2.1

$x$ を $2 x y$ で因数分解します。

$\frac{x (2 y) - x^{2} y'}{y^{2}}$

ステップ 3.4.2.2

$x$ を $- x^{2} y'$ で因数分解します。

$\frac{x (2 y) + x (- x y')}{y^{2}}$

ステップ 3.4.2.3

$x$ を $x (2 y) + x (- x y')$ で因数分解します。

$\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$e^{y} y' = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に $y^{2}$ を掛けます。

$e^{y} y' y^{2} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$e^{y} y' y^{2}$ の因数を並べ替えます。

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1.1

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

ステップ 5.2.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y - x y')$

ステップ 5.2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y) + x (- x y')$

ステップ 5.2.2.1.3

並べ替えます。

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ステップ 5.2.2.1.3.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y + x (- x y')$

ステップ 5.2.2.1.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x (x y')$

ステップ 5.2.2.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 5.2.2.1.4.1

$x$ を移動させます。

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - (x \cdot x) y'$

ステップ 5.2.2.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x^{2} y'$

ステップ 5.2.2.1.5

$x^{2}$ を移動させます。

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - y' x^{2}$

ステップ 5.2.2.1.6

$2 x y$ と $- y' x^{2}$ を並べ替えます。

$y' y^{2} e^{y} = - y' x^{2} + 2 x y$

ステップ 5.3

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺に $y' x^{2}$ を足します。

$y' y^{2} e^{y} + y' x^{2} = 2 x y$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $y' y^{2} e^{y} + y' x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.2.1

$y'$ を $y' y^{2} e^{y}$ で因数分解します。

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

ステップ 5.3.2.2

$y'$ を $y' x^{2}$ で因数分解します。

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

ステップ 5.3.2.3

$y'$ を $y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2})$ で因数分解します。

$y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$

ステップ 5.3.3

$y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ の各項を $y^{2} e^{y} + x^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ の各項を $y^{2} e^{y} + x^{2}$ で割ります。

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

ステップ 5.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

$y^{2} e^{y} + x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

ステップ 5.3.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例