微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{e^{4 x} - 4 x - 1}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 0} 4 x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{4 lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

ステップ 1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{4 \cdot 0^{2}}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

ステップ 1.2.3.2

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 4 x - 1}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.3.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.3.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 4 x - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.3.4

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 1.3.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 4 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.7.1.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{e^{0} - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.7.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{0}{1 - 4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.7.1.3

$- 4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{1 + 0 - 1 \cdot 1}$

ステップ 1.3.7.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{1 + 0 - 1}$

ステップ 1.3.7.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{1 - 1}$

ステップ 1.3.7.3

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.7.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.8

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{4 x^{2}}{e^{4 x} - 4 x - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

ステップ 3.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

ステップ 3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

ステップ 3.4

$2$ に $4$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 4 x - 1]}$

ステップ 3.5

総和則では、 $e^{4 x} - 4 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.6

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.6.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.6.1.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.6.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.6.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.6.4

$4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.6.5

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.7

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.7.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.7.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 3.8

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4 + 0}$

ステップ 3.9

$4 e^{4 x} - 4$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 0} \frac{8 x}{4 e^{4 x} - 4}$

ステップ 4

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$8$ と $4 e^{4 x} - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$4$ を $8 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 e^{4 x} - 4}$

ステップ 4.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$4$ を $4 e^{4 x}$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x}) - 4}$

ステップ 4.1.2.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x}) + 4 (- 1)}$

ステップ 4.1.2.3

$4$ を $4 (e^{4 x}) + 4 (- 1)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x} - 1)}$

ステップ 4.1.2.4

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 0} \frac{4 (2 x)}{4 (e^{4 x} - 1)}$

ステップ 4.1.2.5

式を書き換えます。

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{e^{4 x} - 1}$

ステップ 4.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{4 x} - 1}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1}$

ステップ 5.1.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - 1}$

ステップ 5.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} e^{4 x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 5.1.3.1.2

指数に極限を移動させます。

$2 \frac{0}{e^{lim_{x \to 0} 4 x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 5.1.3.1.3

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 \frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

ステップ 5.1.3.1.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{e^{4 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \frac{0}{e^{4 \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.3.1.1

$4$ に $0$ をかけます。

$2 \frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3.3.1.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$2 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

ステップ 5.1.3.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 \frac{0}{1 - 1}$

ステップ 5.1.3.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 5.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 5.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$2 (\frac{0}{0})$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{4 x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

ステップ 5.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x} - 1]}$

ステップ 5.3.3

総和則では、 $e^{4 x} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 5.3.4

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 x$ とします。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 5.3.4.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 5.3.4.1.3

$u$ のすべての発生を $4 x$ で置き換えます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 5.3.4.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 5.3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 5.3.4.4

$4$ に $1$ をかけます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 5.3.4.5

$4$ を $e^{4 x}$ の左に移動させます。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

ステップ 5.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x} + 0}$

ステップ 5.3.6

$4 e^{4 x}$ と $0$ をたし算します。

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 e^{4 x}}$

ステップ 6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\frac{1}{4}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{4}) lim_{x \to 0} \frac{1}{e^{4 x}}$

ステップ 6.2

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$2 (\frac{1}{4}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} e^{4 x}}$

ステップ 6.3

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{lim_{x \to 0} e^{4 x}}$

ステップ 6.4

指数に極限を移動させます。

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{lim_{x \to 0} 4 x}}$

ステップ 6.5

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{4 lim_{x \to 0} x}}$

ステップ 7

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 (\frac{1}{4}) \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

ステップ 8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$2 \frac{1}{2 (2)} \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

ステップ 8.1.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{1}{2 \cdot 2} \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

ステップ 8.1.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{4 \cdot 0}}$

ステップ 8.2

まとめる。

$\frac{1 \cdot 1}{2 e^{4 \cdot 0}}$

ステップ 8.3

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 e^{4 \cdot 0}}$

ステップ 8.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{2 e^{0}}$

ステップ 8.4.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 8.5

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2}$

微分積分 例

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