微分積分例

$- 3 = x y - y$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (- 3) = \frac{d}{d x} (x y - y)$

ステップ 2

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x y - y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$x y' + y + \frac{d}{d x} [- y]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [- y]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- y$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [y]$ です。

$x y' + y - \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$x y' + y - y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$0 = x y' + y - y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $x y' + y - y' = 0$ として書き換えます。

$x y' + y - y' = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x y' - y' = - y$

ステップ 5.3

$y'$ を $x y' - y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を $x y'$ で因数分解します。

$y' x - y' = - y$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $- y'$ で因数分解します。

$y' x + y' \cdot - 1 = - y$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' x + y' \cdot - 1$ で因数分解します。

$y' (x - 1) = - y$

ステップ 5.4

$y' (x - 1) = - y$ の各項を $x - 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y' (x - 1) = - y$ の各項を $x - 1$ で割ります。

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{- y}{x - 1}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$x - 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x - 1)}{x - 1} = \frac{- y}{x - 1}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- y}{x - 1}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y}{x - 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x - 1}$

微分積分 例

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