微分積分例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}} d x$

ステップ 3

$u = 42 - 3 x$ とします。次に $d u = - 3 d x$ すると、 $- \frac{1}{3} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = 42 - 3 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$42 - 3 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [42 - 3 x]$

ステップ 3.1.2

微分します。

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ステップ 3.1.2.1

総和則では、 $42 - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [42] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 3.1.2.2

$42$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $42$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 3 \cdot 1$

ステップ 3.1.3.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$0 - 3$

ステップ 3.1.4

$0$ から $3$ を引きます。

$- 3$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分数の前に負数を移動させます。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{3}) d u$

ステップ 4.2

$\frac{1}{\sqrt{u}}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 3} d u$

ステップ 4.3

$3$ を $\sqrt{u}$ の左に移動させます。

$\int - \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

ステップ 5

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{3 \sqrt{u}} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

ステップ 7

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 7.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{3} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 7.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 7.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$- \frac{1}{3} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 7.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$- \frac{1}{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ を $- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ に書き換えます。

$- \frac{1}{3} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 (\frac{1}{3}) u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9.2.2

$- 2$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 9.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{3} u^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $42 - 3 x$ で置き換えます。

$- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{42 - 3 x}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \frac{2}{3} {(42 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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