微分積分例

$8 (4^{x})$

ステップ 1

$8 (4^{x})$ を関数で書きます。

$f (x) = 8 (4^{x})$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 8 (4^{x}) d x$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$\int 2^{3} \cdot 4^{x} d x$

ステップ 4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\int 2^{3} \cdot {(2^{2})}^{x} d x$

ステップ 4.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 2^{3} \cdot 2^{2 x} d x$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2^{3 + 2 x} d x$

ステップ 5

$u = 3 + 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u = 3 + 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$3 + 2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

ステップ 5.1.2

微分します。

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ステップ 5.1.2.1

総和則では、 $3 + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.1.2.2

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 5.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 2 \cdot 1$

ステップ 5.1.3.3

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + 2$

ステップ 5.1.4

$0$ と $2$ をたし算します。

$2$

ステップ 5.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int 2^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

ステップ 6

$2^{u}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{2^{u}}{2} d u$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int 2^{u} d u$

ステップ 8

$2^{u}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2^{u}}{\ln (2)}$ です。

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{1}{2} (\frac{2^{u}}{\ln (2)} + C)$ を $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$ に書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

ステップ 9.2

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{\ln (2)}$ をかけます。

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{u} + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $3 + 2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$

ステップ 11

答えは関数 $f (x) = 8 (4^{x})$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2 \ln (2)} \cdot 2^{3 + 2 x} + C$

微分積分 例

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