微分積分例

$\ln (x^{2} - x)$

ステップ 1

$\ln (x^{2} - x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \ln (x^{2} - x)$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \ln (x^{2} - x) d x$

ステップ 4

$u = \ln (x^{2} - x)$ と $d v = 1$ ならば、公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\ln (x^{2} - x) x - \int x \frac{2 x - 1}{x (x - 1)} d x$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$x$ と $\frac{2 x - 1}{x (x - 1)}$ をまとめます。

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{x (2 x - 1)}{x (x - 1)} d x$

ステップ 5.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{x (2 x - 1)}{x (x - 1)} d x$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$\ln (x^{2} - x) x - \int \frac{2 x - 1}{x - 1} d x$

ステップ 6

$2 x - 1$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 6.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$2 x$

$1$

ステップ 6.2

被除数 $2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$2$
	$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$

ステップ 6.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			+	$2 x$	-	$2$

ステップ 6.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x - 2$ の符号をすべて変更します。

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			-	$2 x$	+	$2$

ステップ 6.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$2$
$x$	-	$1$		$2 x$	-	$1$
			-	$2 x$	+	$2$
					+	$1$

ステップ 6.6

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$\ln (x^{2} - x) x - \int 2 + \frac{1}{x - 1} d x$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$\ln (x^{2} - x) x - (\int 2 d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

ステップ 8

定数の法則を当てはめます。

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

ステップ 9

$u = x - 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u = x - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 9.1.1

$x - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 9.1.2

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 9.1.4

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 9.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 9.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \int \frac{1}{u} d u)$

ステップ 10

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$\ln (x^{2} - x) x - (2 x + C + \ln (| u |) + C)$

ステップ 11

簡約します。

$\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| u |) + C$

ステップ 12

$u$ のすべての発生を $x - 1$ で置き換えます。

$\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| x - 1 |) + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = \ln (x^{2} - x)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\ln (x^{2} - x) x - 2 x - \ln (| x - 1 |) + C$

微分積分 例

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