微分積分例

$\int_{1}^{4} (\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}) d x$

ステップ 1

括弧を削除します。

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

ステップ 3

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $4$ を積分の外に移動させます。

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$4 \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

ステップ 4.2

${(x^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

ステップ 4.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 \int_{1}^{4} x^{- 2} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

ステップ 5

べき乗則では、 $x^{- 2}$ の $x$ に関する積分は $- x^{- 1}$ です。

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

ステップ 6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

ステップ 7

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

ステップ 9

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

ステップ 11

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

ステップ 11.2

代入し簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

$4$ および $1$ で $- x^{- 1}$ の値を求めます。

$4 ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

ステップ 11.2.2

$4$ および $1$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

ステップ 11.2.3

$4$ および $1$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 (- \frac{1}{4} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.2

1のすべての数の累乗は1です。

$4 (- \frac{1}{4} + 1) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$4 (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.4

公分母の分子をまとめます。

$4 \frac{- 1 + 4}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.5

$- 1$ と $4$ をたし算します。

$4 (\frac{3}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.6

$4$ と $\frac{3}{4}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.7

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.8

$12$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.8.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.8.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.8.2.4

$3$ を $1$ で割ります。

$3 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.9

$4$ を $2$ 乗します。

$3 + 2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.10

$16$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.10.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.10.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.10.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.10.2.2

共通因数を約分します。

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.10.2.3

式を書き換えます。

$3 + 2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.10.2.4

$8$ を $1$ で割ります。

$3 + 2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.11

1のすべての数の累乗は1です。

$3 + 2 (8 - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.12

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 + 2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.13

$8$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 + 2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.14

公分母の分子をまとめます。

$3 + 2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.15

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.15.1

$8$ に $2$ をかけます。

$3 + 2 \frac{16 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.15.2

$16$ から $1$ を引きます。

$3 + 2 (\frac{15}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.16

$2$ と $\frac{15}{2}$ をまとめます。

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.17

$2$ に $15$ をかけます。

$3 + \frac{30}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.18

$30$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.18.1

$2$ を $30$ で因数分解します。

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.18.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.18.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 (1)} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.18.2.2

共通因数を約分します。

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.18.2.3

式を書き換えます。

$3 + \frac{15}{1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.18.2.4

$15$ を $1$ で割ります。

$3 + 15 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.19

$3$ と $15$ をたし算します。

$18 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.20

$4$ を $3$ 乗します。

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

ステップ 11.2.4.21

1のすべての数の累乗は1です。

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

ステップ 11.2.4.22

公分母の分子をまとめます。

$18 - 3 \frac{64 - 1}{3}$

ステップ 11.2.4.23

$64$ から $1$ を引きます。

$18 - 3 (\frac{63}{3})$

ステップ 11.2.4.24

$63$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.24.1

$3$ を $63$ で因数分解します。

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3}$

ステップ 11.2.4.24.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.4.24.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

ステップ 11.2.4.24.2.2

共通因数を約分します。

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

ステップ 11.2.4.24.2.3

式を書き換えます。

$18 - 3 (\frac{21}{1})$

ステップ 11.2.4.24.2.4

$21$ を $1$ で割ります。

$18 - 3 \cdot 21$

ステップ 11.2.4.25

$- 3$ に $21$ をかけます。

$18 - 63$

ステップ 11.2.4.26

$18$ から $63$ を引きます。

$- 45$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例