微分積分例

$y = \frac{1}{2} \tan (2 x)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ です。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

ステップ 1.2

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.2.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\sec^{2} (2 x)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.3.3

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$2$ と $\frac{\sec^{2} (2 x)}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3.2.2

$\sec^{2} (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (2 x) \cdot 1$

ステップ 1.3.5

$\sec^{2} (2 x)$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (2 x)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sec (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sec (2 x)$ とします。

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sec (2 x)$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

ステップ 2.2

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.2.2

$u_{2}$ に関する $\sec (u_{2})$ の微分係数は $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ です。

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.3

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.4

$\sec (2 x)$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.7

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.8

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

ステップ 2.10

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$\sec^{2} (2 x) = 0$

ステップ 4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sec (2 x) = \pm 0$

ステップ 5.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\sec (2 x) = 0$

ステップ 6

割線の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 7

$x =$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$4 \sec^{2} (2) \tan (2)$

ステップ 8

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$\sec (2)$ の値を求めます。

$4 \cdot {1.00060954}^{2} \tan (2)$

ステップ 8.2

$1.00060954$ を $2$ 乗します。

$4 \cdot 1.00121946 \tan (2)$

ステップ 8.3

$4$ に $1.00121946$ をかけます。

$4.00487784 \tan (2)$

ステップ 8.4

$\tan (2)$ の値を求めます。

$4.00487784 \cdot 0.03492076$

ステップ 8.5

$4.00487784$ に $0.03492076$ をかけます。

$0.13985341$

ステップ 9

$x =$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x =$ は極小値です

ステップ 10

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ の極値です。

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ は極小値です

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例