微分積分例

$\int 20 x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

ステップ 1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $20$ を積分の外に移動させます。

$20 \int x^{3} \sec (5 x^{4} - 1) \tan (5 x^{4} - 1) d x$

ステップ 2

$u = 5 x^{4} - 1$ とします。次に $d u = 20 x^{3} d x$ すると、 $\frac{1}{20} d u = x^{3} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 5 x^{4} - 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$5 x^{4} - 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} - 1]$

ステップ 2.1.2

総和則では、 $5 x^{4} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.3.3

$4$ に $5$ をかけます。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$20 x^{3} + 0$

ステップ 2.1.4.2

$20 x^{3}$ と $0$ をたし算します。

$20 x^{3}$

ステップ 2.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$20 \int \sec (u) \tan (u) \frac{1}{20} d u$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{20}$ と $\sec (u)$ をまとめます。

$20 \int \frac{\sec (u)}{20} \tan (u) d u$

ステップ 3.2

$\frac{\sec (u)}{20}$ と $\tan (u)$ をまとめます。

$20 \int \frac{\sec (u) \tan (u)}{20} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{20}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{20}$ を積分の外に移動させます。

$20 (\frac{1}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u)$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{20}$ と $20$ をまとめます。

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

ステップ 5.2

$20$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{20}{20} \int \sec (u) \tan (u) d u$

ステップ 5.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \sec (u) \tan (u) d u$

ステップ 5.3

$\int \sec (u) \tan (u) d u$ に $1$ をかけます。

$\int \sec (u) \tan (u) d u$

ステップ 6

$\sec (u)$ の微分係数が $\sec (u) \tan (u)$ なので、 $\sec (u) \tan (u)$ の積分は $\sec (u)$ です。

$\sec (u) + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $5 x^{4} - 1$ で置き換えます。

$\sec (5 x^{4} - 1) + C$

微分積分 例

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