微分積分例

$\int 2 \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

ステップ 1

簡約します。

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ステップ 1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.2

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.3.1

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ に $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ をかけます。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.3.2

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.3.3

$\sqrt{x}$ を $1$ 乗します。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.3.6

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.3.6.5

簡約します。

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

ステップ 1.4

積の法則を $\frac{\sqrt{x}}{x}$ に当てはめます。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.5

${\sqrt{x}}^{2}$ を $x$ に書き換えます。

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ステップ 1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.4.1

共通因数を約分します。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.5.4.2

式を書き換えます。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.5.5

簡約します。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.6

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.6.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}) x} d x$

ステップ 1.6.3

共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

ステップ 1.6.3.2

共通因数を約分します。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

ステップ 1.6.3.3

式を書き換えます。

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{1}{x}) x} d x$

ステップ 1.7

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int 2 \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}) x} d x$

ステップ 1.8

公分母の分子をまとめます。

$\int 2 \sqrt{\frac{x + 1}{x} x} d x$

ステップ 1.9

$\frac{x + 1}{x}$ と $x$ をまとめます。

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

ステップ 1.10

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.10.1

共通因数を約分します。

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

ステップ 1.10.2

$x + 1$ を $1$ で割ります。

$\int 2 \sqrt{x + 1} d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int \sqrt{x + 1} d x$

ステップ 3

$u = x + 1$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 3.1

$u = x + 1$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 3.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 3.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 3.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 3.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 3.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$2 \int \sqrt{u} d u$

ステップ 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ を $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ に書き換えます。

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 6.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

ステップ 7

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$

微分積分 例

微分積分例