微分積分例

$\int \frac{a + b x^{2}}{\sqrt{3 a x + b x^{3}}} d a$

ステップ 1

$u = 3 a x + b x^{3}$ とします。次に $d u = 3 x d a$ すると、 $\frac{1}{3 x} d u = d a$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = 3 a x + b x^{3}$ とします。 $\frac{d u}{d a}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$3 a x + b x^{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d a} [3 a x + b x^{3}]$

ステップ 1.1.2

総和則では、 $3 a x + b x^{3}$ の $a$ に関する積分は $\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d a} [3 a x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$3 x$ は $a$ に対して定数なので、 $a$ に対する $3 a x$ の微分係数は $3 x \frac{d}{d a} [a]$ です。

$3 x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ は $n a^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 x + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$b x^{3}$ は $a$ について定数なので、 $a$ について $b x^{3}$ の微分係数は $0$ です。

$3 x + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3 x$ と $0$ をたし算します。

$3 x$

ステップ 1.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

$b x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2} \cdot \frac{3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.2

$b x^{2}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + \frac{b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.3

公分母の分子をまとめます。

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.4

$3$ を $b x^{2}$ の左に移動させます。

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + 3 \cdot (b x^{2})}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.5

$- b x^{2}$ と $3 b x^{2}$ をたし算します。

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.6

$\frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}}$ に $\frac{3 x}{3 x}$ をかけます。

$\int \frac{3 x}{3 x} \cdot \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.7

まとめる。

$\int \frac{3 x (\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.8

分配則を当てはめます。

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.9

$3 x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.9.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.9.2

式を書き換えます。

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.10

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.10.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\int \frac{u + 3 (x) \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.10.2

共通因数を約分します。

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.10.3

式を書き換えます。

$\int \frac{u + x (2 b x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.11

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{u + 2 b (x^{1} x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{u + 2 b x^{1 + 2}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.13

$1$ と $2$ をたし算します。

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

ステップ 2.14

$\frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}}$ に $\frac{1}{3 x}$ をかけます。

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u} (3 x)} d u$

ステップ 2.15

$3$ に $3$ をかけます。

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x \sqrt{u} x} d u$

ステップ 2.16

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x) \sqrt{u}} d u$

ステップ 2.17

$x$ を $1$ 乗します。

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x^{1}) \sqrt{u}} d u$

ステップ 2.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{1 + 1} \sqrt{u}} d u$

ステップ 2.19

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{2} \sqrt{u}} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{9 x^{2}}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{9 x^{2}}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{\sqrt{u}} d u$

ステップ 4

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u}$ を $u^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

ステップ 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

ステップ 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

ステップ 4.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

ステップ 4.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5

$(u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.2

$u$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.6

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

ステップ 5.7

$u^{\frac{1}{2}}$ と $2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}}$ を並べ替えます。

$\frac{1}{9 x^{2}} \int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{1}{9 x^{2}} (\int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

ステップ 7

$2 b x^{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $2 b x^{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

ステップ 8

べき乗則では、 $u^{- \frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $2 u^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

ステップ 9

べき乗則では、 $u^{\frac{1}{2}}$ の $u$ に関する積分は $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{2}{3}$ と $u^{\frac{3}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

ステップ 10.2

簡約します。

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} u^{\frac{1}{2}} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

ステップ 11

$u$ のすべての発生を $3 a x + b x^{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}) + C$

微分積分 例

微分積分例