微分積分例

$y = \ln (2 t^{4} e^{- t})$

ステップ 1

$f (t) = \ln (t)$ および $g (t) = 2 t^{4} e^{- t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 t^{4} e^{- t}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 t^{4} e^{- t}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [2 t^{4} e^{- t}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$2$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $2 t^{4} e^{- t}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$ です。

$\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}} (2 \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}])$

ステップ 2.2

項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2$ と $\frac{1}{2 t^{4} e^{- t}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

ステップ 2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

ステップ 2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} \frac{d}{d t} [t^{4} e^{- t}]$

ステップ 3

$f (t) = t^{4}$ および $g (t) = e^{- t}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ は $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} \frac{d}{d t} [e^{- t}] + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

ステップ 4

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = - t$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- t$ とします。

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

ステップ 4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- t$ で置き換えます。

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t]) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

$- 1$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- t$ の微分係数は $- \frac{d}{d t} [t]$ です。

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t])) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

ステップ 5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} (- 1 \cdot 1)) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

ステップ 5.3

式を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (e^{- t} \cdot - 1) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

ステップ 5.3.2

$- 1$ を $e^{- t}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- 1 \cdot e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

ステップ 5.3.3

$- 1 e^{- t}$ を $- e^{- t}$ に書き換えます。

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} \frac{d}{d t} [t^{4}])$

ステップ 5.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t}) + e^{- t} (4 t^{3}))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{t^{4} e^{- t}} (t^{4} (- e^{- t})) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

ステップ 6.2

項をまとめます。

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ステップ 6.2.1

$t^{4}$ と $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ をまとめます。

$\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}} (- e^{- t}) + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

ステップ 6.2.2

$\frac{t^{4}}{t^{4} e^{- t}}$ と $e^{- t}$ をまとめます。

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

ステップ 6.2.3

$t^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.3.1

共通因数を約分します。

$- \frac{t^{4} e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

ステップ 6.2.3.2

式を書き換えます。

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

ステップ 6.2.4

$e^{- t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

ステップ 6.2.4.2

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

ステップ 6.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1 + \frac{1}{t^{4} e^{- t}} (e^{- t} (4 t^{3}))$

ステップ 6.2.6

$e^{- t}$ と $\frac{1}{t^{4} e^{- t}}$ をまとめます。

$- 1 + \frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} (4 t^{3})$

ステップ 6.2.7

$4$ と $\frac{e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ をまとめます。

$- 1 + \frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}} t^{3}$

ステップ 6.2.8

$\frac{4 e^{- t}}{t^{4} e^{- t}}$ と $t^{3}$ をまとめます。

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

ステップ 6.2.9

$e^{- t}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.9.1

共通因数を約分します。

$- 1 + \frac{4 e^{- t} t^{3}}{t^{4} e^{- t}}$

ステップ 6.2.9.2

式を書き換えます。

$- 1 + \frac{4 t^{3}}{t^{4}}$

ステップ 6.2.10

$t^{3}$ と $t^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.10.1

$t^{3}$ を $4 t^{3}$ で因数分解します。

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{4}}$

ステップ 6.2.10.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.10.2.1

$t^{3}$ を $t^{4}$ で因数分解します。

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

ステップ 6.2.10.2.2

共通因数を約分します。

$- 1 + \frac{t^{3} \cdot 4}{t^{3} t}$

ステップ 6.2.10.2.3

式を書き換えます。

$- 1 + \frac{4}{t}$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$\frac{4}{t} - 1$

微分積分 例

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