微分積分例

$\int \frac{x}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x$

ステップ 1

部分分数分解を利用して分数を書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$

ステップ 1.1.3

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は ${(1 + 4 x)}^{2}$ です。

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

ステップ 1.1.4

${(1 + 4 x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{x {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

ステップ 1.1.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{(A) {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

ステップ 1.1.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

${(1 + 4 x)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{A {(1 + 4 x)}^{2}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

ステップ 1.1.5.1.2

$A$ を $1$ で割ります。

$x = A + \frac{(B) {(1 + 4 x)}^{2}}{1 + 4 x}$

ステップ 1.1.5.2

${(1 + 4 x)}^{2}$ と $1 + 4 x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.2.1

$1 + 4 x$ を $(B) {(1 + 4 x)}^{2}$ で因数分解します。

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{1 + 4 x}$

ステップ 1.1.5.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.5.2.2.1

$1$ を掛けます。

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

ステップ 1.1.5.2.2.2

共通因数を約分します。

$x = A + \frac{(1 + 4 x) (B (1 + 4 x))}{(1 + 4 x) \cdot 1}$

ステップ 1.1.5.2.2.3

式を書き換えます。

$x = A + \frac{B (1 + 4 x)}{1}$

ステップ 1.1.5.2.2.4

$B (1 + 4 x)$ を $1$ で割ります。

$x = A + B (1 + 4 x)$

ステップ 1.1.5.3

分配則を当てはめます。

$x = A + B \cdot 1 + B (4 x)$

ステップ 1.1.5.4

$B$ に $1$ をかけます。

$x = A + B + B (4 x)$

ステップ 1.1.5.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$x = A + B + 4 B x$

ステップ 1.1.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$B$ を移動させます。

$x = A + B + 4 x B$

ステップ 1.1.6.2

$B$ を移動させます。

$x = A + 4 x B + B$

ステップ 1.1.6.3

$A$ と $4 x B$ を並べ替えます。

$x = 4 x B + A + B$

ステップ 1.2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 1.2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = 4 B$

ステップ 1.2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$0 = A + B$

ステップ 1.2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

$1 = 4 B$

$0 = A + B$

ステップ 1.3

連立方程式を解きます。

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ステップ 1.3.1

$1 = 4 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 1.3.1.1

方程式を $4 B = 1$ として書き換えます。

$4 B = 1$

$0 = A + B$

ステップ 1.3.1.2

$4 B = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.3.1.2.1

$4 B = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

ステップ 1.3.1.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

ステップ 1.3.1.2.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + B$

ステップ 1.3.2

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$0 = A + B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.3.2.2.1

括弧を削除します。

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$0 = A + \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3

$0 = A + \frac{1}{4}$ の $A$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式を $A + \frac{1}{4} = 0$ として書き換えます。

$A + \frac{1}{4} = 0$

$B = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.3.2

方程式の両辺から $\frac{1}{4}$ を引きます。

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.4

連立方程式を解きます。

$A = - \frac{1}{4} B = \frac{1}{4}$

ステップ 1.3.5

すべての解をまとめます。

$A = - \frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}$

ステップ 1.4

$\frac{A}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{B}{1 + 4 x}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- \frac{1}{4}}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

ステップ 1.5.2

$\frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2} \cdot 4} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

ステップ 1.5.3

$4$ を ${(1 + 4 x)}^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{\frac{1}{4}}{1 + 4 x}$

ステップ 1.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + 4 x}$

ステップ 1.5.5

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{1 + 4 x}$ をかけます。

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} + \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

ステップ 2

単一積分を複数積分に分割します。

$\int - \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

ステップ 3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int \frac{1}{4 {(1 + 4 x)}^{2}} d x + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

ステップ 4

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{(1 + 4 x)}^{2}} d x) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

ステップ 5

$u_{1} = 1 + 4 x$ とします。次に $d u_{1} = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{1} = 1 + 4 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

$1 + 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

ステップ 5.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

総和則では、 $1 + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 5.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 5.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 4 \cdot 1$

ステップ 5.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$0 + 4$

ステップ 5.1.4

$0$ と $4$ をたし算します。

$4$

ステップ 5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 4} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

ステップ 6.2

$4$ を ${u_{1}}^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{4}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1}) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

ステップ 8

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

ステップ 8.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$- \frac{1}{16} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

ステップ 8.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 8.2.1

${u_{1}}^{2}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$- \frac{1}{16} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

ステップ 8.2.2

${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

ステップ 8.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{16} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

ステップ 9

べき乗則では、 ${u_{1}}^{- 2}$ の $u_{1}$ に関する積分は $- {u_{1}}^{- 1}$ です。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{4 (1 + 4 x)} d x$

ステップ 10

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + 4 x} d x$

ステップ 11

$u_{2} = 1 + 4 x$ とします。次に $d u_{2} = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$u_{2} = 1 + 4 x$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

$1 + 4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + 4 x]$

ステップ 11.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.2.1

総和則では、 $1 + 4 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 11.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 11.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 11.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 11.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 4 \cdot 1$

ステップ 11.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$0 + 4$

ステップ 11.1.4

$0$ と $4$ をたし算します。

$4$

ステップ 11.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{4} d u_{2}$

ステップ 12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$\frac{1}{u_{2}}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2} \cdot 4} d u_{2}$

ステップ 12.2

$4$ を $u_{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{4 u_{2}} d u_{2}$

ステップ 13

$\frac{1}{4}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

ステップ 14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 14.2

$4$ に $4$ をかけます。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 15

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$- \frac{1}{16} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{1}{16} (\ln (| u_{2} |) + C)$

ステップ 16

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

簡約します。

$- \frac{1}{16} (- \frac{1}{u_{1}}) + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 16.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{1}{16}) \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 16.2.2

$\frac{1}{16}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 16.2.3

$\frac{1}{16}$ に $\frac{1}{u_{1}}$ をかけます。

$\frac{1}{16 u_{1}} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 17

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 17.1

$u_{1}$ のすべての発生を $1 + 4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 17.2

$u_{2}$ のすべての発生を $1 + 4 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{16 (1 + 4 x)} + \frac{1}{16} \ln (| 1 + 4 x |) + C$

微分積分 例

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