微分積分例

$lim_{x \to 1} \frac{5 - 5 x^{2}}{4 \tan (3 x - 3)}$

ステップ 1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 1} 5 - 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

ステップ 1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 1} 5 - lim_{x \to 1} 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

ステップ 1.2.1.2

$x$ が $1$ に近づくと定数である $5$ の極限値を求めます。

$\frac{5 - lim_{x \to 1} 5 x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

ステップ 1.2.1.3

$5$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{5 - 5 lim_{x \to 1} x^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

ステップ 1.2.1.4

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{5 - 5 {(lim_{x \to 1} x)}^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

ステップ 1.2.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{5 - 5 \cdot 1^{2}}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

ステップ 1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{5 - 5 \cdot 1}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

ステップ 1.2.3.1.2

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

ステップ 1.2.3.2

$5$ から $5$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 4 \tan (3 x - 3)}$

ステップ 1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.3.1.1

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{4 lim_{x \to 1} \tan (3 x - 3)}$

ステップ 1.3.1.2

正切が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{0}{4 \tan (lim_{x \to 1} 3 x - 3)}$

ステップ 1.3.1.3

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{4 \tan (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 3)}$

ステップ 1.3.1.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{0}{4 \tan (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3)}$

ステップ 1.3.1.5

$x$ が $1$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 \tan (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

ステップ 1.3.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{4 \tan (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

ステップ 1.3.3

答えを簡約します。

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ステップ 1.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.3.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{0}{4 \tan (3 - 1 \cdot 3)}$

ステップ 1.3.3.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{0}{4 \tan (3 - 3)}$

ステップ 1.3.3.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{0}{4 \tan (0)}$

ステップ 1.3.3.3

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{0}{4 \cdot 0}$

ステップ 1.3.3.4

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.3.5

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 1} \frac{5 - 5 x^{2}}{4 \tan (3 x - 3)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

ステップ 3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

ステップ 3.2

総和則では、 $5 - 5 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

ステップ 3.3

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.4.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

ステップ 3.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

ステップ 3.4.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 10 x}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

ステップ 3.5

$0$ から $10 x$ を引きます。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{\frac{d}{d x} [4 \tan (3 x - 3)]}$

ステップ 3.6

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \tan (3 x - 3)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x - 3)]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \frac{d}{d x} [\tan (3 x - 3)]}$

ステップ 3.7

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 3 x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.7.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 3$ とします。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

ステップ 3.7.2

$u$ に関する $\tan (u)$ の微分係数は $\sec^{2} (u)$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

ステップ 3.7.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 3$ で置き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 (\sec^{2} (3 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 3])}$

ステップ 3.8

括弧を削除します。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 3]}$

ステップ 3.9

総和則では、 $3 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

ステップ 3.10

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

ステップ 3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

ステップ 3.12

$3$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

ステップ 3.13

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) (3 + 0)}$

ステップ 3.14

$3$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{4 \sec^{2} (3 x - 3) \cdot 3}$

ステップ 3.15

$3$ に $4$ をかけます。

$lim_{x \to 1} \frac{- 10 x}{12 \sec^{2} (3 x - 3)}$

ステップ 4

$- 10$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

$2$ を $- 10 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{12 \sec^{2} (3 x - 3)}$

ステップ 4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $12 \sec^{2} (3 x - 3)$ で因数分解します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{2 (6 \sec^{2} (3 x - 3))}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 1} \frac{2 (- 5 x)}{2 (6 \sec^{2} (3 x - 3))}$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to 1} \frac{- 5 x}{6 \sec^{2} (3 x - 3)}$

ステップ 5

$\frac{- 5}{6}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 5}{6} lim_{x \to 1} \frac{x}{\sec^{2} (3 x - 3)}$

ステップ 6

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} \sec^{2} (3 x - 3)}$

ステップ 7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $\sec^{2} (3 x - 3)$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{{(lim_{x \to 1} \sec (3 x - 3))}^{2}}$

ステップ 8

正割が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 3 x - 3)}$

ステップ 9

$x$ が $1$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (lim_{x \to 1} 3 x - lim_{x \to 1} 3)}$

ステップ 10

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3)}$

ステップ 11

$x$ が $1$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 1} x}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

ステップ 12

すべての $x$ に $1$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 12.1

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3)}$

ステップ 12.2

$x$ を $1$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

ステップ 13

答えを簡約します。

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ステップ 13.1

まとめる。

$\frac{- 5 \cdot 1}{6 \sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

ステップ 13.2

$- 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 \cdot 1 - 1 \cdot 3)}$

ステップ 13.3

分母を簡約します。

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ステップ 13.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 13.3.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 - 1 \cdot 3)}$

ステップ 13.3.1.2

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (3 - 3)}$

ステップ 13.3.2

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 5}{6 \sec^{2} (0)}$

ステップ 13.3.3

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{- 5}{6 \cdot 1^{2}}$

ステップ 13.3.4

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{- 5}{6 \cdot 1}$

ステップ 13.4

$6$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 5}{6}$

ステップ 13.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{6}$

微分積分 例

微分積分例