微分積分例

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 1

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}} d x$

ステップ 4

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に $x = \tan (t)$ とします。次に $d x = \sec^{2} (t) d t$ 。 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、 $\sec^{2} (t)$ は正であることに注意します。

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

$\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ を簡約します。

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ステップ 5.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 5.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\int \frac{1}{\tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 5.2

項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\sec (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

$\sec (t)$ を $\tan (t) \sec (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

ステップ 5.2.1.2

$\sec (t)$ を $\sec^{2} (t)$ で因数分解します。

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 5.2.1.3

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

ステップ 5.2.1.4

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\tan (t)} \sec (t) d t$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{\tan (t)}$ と $\sec (t)$ をまとめます。

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

ステップ 5.2.3

簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

正弦と余弦に関して $\tan (t)$ を書き換えます。

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

ステップ 5.2.3.2

正弦と余弦に関して $\sec (t)$ を書き換えます。

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

ステップ 5.2.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ で割ります。

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

ステップ 5.2.3.4

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.4.1

共通因数を約分します。

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

ステップ 5.2.3.4.2

式を書き換えます。

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

ステップ 5.2.3.5

$\frac{1}{\sin (t)}$ を $\csc (t)$ に変換します。

$\int \csc (t) d t$

ステップ 6

$\csc (t)$ の $t$ に関する積分は $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ です。

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

ステップ 7

$t$ のすべての発生を $\arctan (x)$ で置き換えます。

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$

ステップ 8

答えは関数 $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$

微分積分 例

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