微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{- 7 x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{1}{- 7}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{x^{2}}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 9 x^{2} + 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 9 x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$9$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4 x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

$4$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 0} x^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

極限べき乗則を利用して、指数 $5$ を $x^{5}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0^{2} + 4 {(lim_{x \to 0} x)}^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0^{2} + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.7.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{9 \cdot 0 + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.7.1.2

$9$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 0^{5}}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.7.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.7.1.4

$4$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.2.7.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

ステップ 2.1.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{9 x^{2} + 4 x^{5}}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $9 x^{2} + 4 x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ です。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{9 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.3.3

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + \frac{d}{d x} [4 x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.4

$\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{5}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 4 \frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.4.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 4 \cdot 5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.4.3

$5$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{18 x + 20 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.5

項を並べ替えます。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

ステップ 2.3.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- 7} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{2 x}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{x}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 20 x^{4} + 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} 20 x^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.2

$20$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.3

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を $x^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 18 x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.4

$18$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 {(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 18 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.5

すべての $x$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0^{4} + 18 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.5.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0^{4} + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.6

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{20 \cdot 0 + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.6.1.2

$20$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 18 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.6.1.3

$18$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.2.6.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 4.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} \frac{0}{0}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{20 x^{4} + 18 x}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4} + 18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4} + 18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $20 x^{4} + 18 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [20 x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ です。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [20 x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3

$\frac{d}{d x} [20 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x^{4}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{20 \cdot 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.3.3

$4$ に $20$ をかけます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + \frac{d}{d x} [18 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.4

$\frac{d}{d x} [18 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.4.1

$18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $18 x$ の微分係数は $18 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.4.3

$18$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 4.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{80 x^{3} + 18}{1}$

ステップ 4.4

$80 x^{3} + 18$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} lim_{x \to 0} 80 x^{3} + 18$

ステップ 5

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 80 x^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

ステップ 5.2

$80$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

ステップ 5.3

極限べき乗則を利用して、指数 $3$ を $x^{3}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 18)$

ステップ 5.4

$x$ が $0$ に近づくと定数である $18$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 18)$

ステップ 6

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{- 7} \cdot \frac{1}{2} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

ステップ 7

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

ステップ 7.2

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{7}$ をかけます。

$- \frac{1}{2 \cdot 7} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

ステップ 7.2.2

$2$ に $7$ をかけます。

$- \frac{1}{14} (80 \cdot 0^{3} + 18)$

ステップ 7.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- \frac{1}{14} (80 \cdot 0 + 18)$

ステップ 7.3.2

$80$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{14} (0 + 18)$

ステップ 7.4

$0$ と $18$ をたし算します。

$- \frac{1}{14} \cdot 18$

ステップ 7.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$- \frac{1}{14}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{14} \cdot 18$

ステップ 7.5.2

$2$ を $14$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 18$

ステップ 7.5.3

$2$ を $18$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 9)$

ステップ 7.5.4

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot (2 \cdot 9)$

ステップ 7.5.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{7} \cdot 9$

ステップ 7.6

$\frac{- 1}{7}$ と $9$ をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 9}{7}$

ステップ 7.7

$- 1$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 9}{7}$

ステップ 7.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{9}{7}$

ステップ 8

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{9}{7}$

10進法形式：

$- 1.\overline{285714}$

微分積分 例

微分積分例