微分積分例

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{6} \sqrt{x} - 12}{x - 6}$

ステップ 1

根の積の法則を使ってまとめます。

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{x - 6}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to 6} 2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$x$ が $6$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to 6} 2 \sqrt{x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

ステップ 2.1.2.1.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 lim_{x \to 6} \sqrt{x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

ステップ 2.1.2.1.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{2 \sqrt{lim_{x \to 6} x \cdot 6} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

ステップ 2.1.2.1.4

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{2 \sqrt{6 lim_{x \to 6} x} - lim_{x \to 6} 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

ステップ 2.1.2.1.5

$x$ が $6$ に近づくと定数である $12$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \sqrt{6 lim_{x \to 6} x} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $6$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{2 \sqrt{6 \cdot 6} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

$6$ に $6$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{36} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{6^{2}} - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

ステップ 2.1.2.3.1.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \cdot 6 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

ステップ 2.1.2.3.1.4

$2$ に $6$ をかけます。

$\frac{12 - 1 \cdot 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

ステップ 2.1.2.3.1.5

$- 1$ に $12$ をかけます。

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 6} x - 6}$

ステップ 2.1.2.3.2

$12$ から $12$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 6}$

ステップ 2.1.3

分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1.1

$x$ が $6$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6}$

ステップ 2.1.3.1.2

$x$ が $6$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6}$

ステップ 2.1.3.2

$x$ を $6$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{6 - 1 \cdot 6}$

ステップ 2.1.3.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.3.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{0}{6 - 6}$

ステップ 2.1.3.3.2

$6$ から $6$ を引きます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.3.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 6} \frac{2 \sqrt{x \cdot 6} - 12}{x - 6} = lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6} - 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $2 \sqrt{x \cdot 6} - 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ です。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x \cdot 6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$6$ を $x$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{6 \cdot x}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{6 x}$ を ${(6 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 {(6 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.3

$6$ を $6 x$ で因数分解します。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 {(6 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.4

積の法則を $6 (x)$ に当てはめます。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [2 (6^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.5

$2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.6

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.9

公分母の分子をまとめます。

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.10

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.3.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.11

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.12

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{x \to 6} \frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.13

$2$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 6} \frac{6^{\frac{1}{2}} \frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.14

$6^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}} (2 x^{- \frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.15

$2$ を $6^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.16

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.17

共通因数を約分します。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{2 \cdot 6^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.3.18

式を書き換えます。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 12]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.4

$- 12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.5

$\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

ステップ 2.3.6

総和則では、 $x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

ステップ 2.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

ステップ 2.3.8

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

ステップ 2.3.9

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 2.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{x \to 6} \frac{6^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 2.5

分数指数を根に変換します。

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ステップ 2.5.1

$6^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{6}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 2.5.2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x}$ に書き換えます。

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}} \cdot 1$

ステップ 2.6

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{x}}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt{6}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\sqrt{6} lim_{x \to 6} \frac{1}{\sqrt{x}}$

ステップ 3.2

$x$ が $6$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\sqrt{6} \frac{lim_{x \to 6} 1}{lim_{x \to 6} \sqrt{x}}$

ステップ 3.3

$x$ が $6$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\sqrt{6} \frac{1}{lim_{x \to 6} \sqrt{x}}$

ステップ 3.4

根号の下に極限を移動させます。

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 6} x}}$

ステップ 4

$x$ を $6$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{6}}$

ステップ 5

$\sqrt{6}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{6} \frac{1}{\sqrt{6}}$

ステップ 5.2

式を書き換えます。

$1$

微分積分 例

微分積分例