微分積分例

$y = \frac{1}{\sqrt[6]{x^{2} - 5 x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[6]{x^{2} - 5 x}$ を ${(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6}}$ に書き換えます。

$y = \frac{1}{{(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6}}}$

ステップ 2

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6}}})$

ステップ 3

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 4

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 4.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{{(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6}}}$ を ${({(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{({(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}]$

ステップ 4.1.2

${({(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{6} \cdot - 1}]$

ステップ 4.1.2.2

$\frac{1}{6}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x)}^{\frac{- 1}{6}}]$

ステップ 4.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{1}{6}}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{6}}$ および $g (x) = x^{2} - 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 5 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{6}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

ステップ 4.2.2

$n = - \frac{1}{6}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{6} u^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 5 x$ で置き換えます。

$- \frac{1}{6} {(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{1}{6} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

ステップ 4.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$- \frac{1}{6} {(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{1}{6} - 1 \cdot \frac{6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

ステップ 4.4

$- 1$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$- \frac{1}{6} {(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{1}{6} + \frac{- 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

ステップ 4.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{6} {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

ステップ 4.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- \frac{1}{6} {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{- 1 - 6}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

ステップ 4.6.2

$- 1$ から $6$ を引きます。

$- \frac{1}{6} {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{- 7}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

ステップ 4.7

分数をまとめます。

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ステップ 4.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{6} {(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{7}{6}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

ステップ 4.7.2

${(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{7}{6}}$ と $\frac{1}{6}$ をまとめます。

$- \frac{{(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{7}{6}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

ステップ 4.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} - 5 x)}^{- \frac{7}{6}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]$

ステップ 4.8

総和則では、 $x^{2} - 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ です。

$- \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 4.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

ステップ 4.10

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}} (2 x - 5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}} (2 x - 5 \cdot 1)$

ステップ 4.12

$- 5$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}} (2 x - 5)$

ステップ 4.13

簡約します。

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ステップ 4.13.1

$- \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}} (2 x - 5)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 x - 5) \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

ステップ 4.13.2

分配則を当てはめます。

$(- (2 x) - - 5) \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

ステップ 4.13.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(- 2 x - - 5) \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

ステップ 4.13.4

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$(- 2 x + 5) \frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

ステップ 4.13.5

$- 2 x + 5$ に $\frac{1}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$ をかけます。

$\frac{- 2 x + 5}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

ステップ 4.13.6

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x) + 5}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

ステップ 4.13.7

$5$ を $- 1 (- 5)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 x) - 1 (- 5)}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

ステップ 4.13.8

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (- 5)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x - 5)}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

ステップ 4.13.9

$- (2 x - 5)$ を $- 1 (2 x - 5)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 x - 5)}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

ステップ 4.13.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x - 5}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

ステップ 5

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = - \frac{2 x - 5}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x - 5}{6 {(x^{2} - 5 x)}^{\frac{7}{6}}}$

微分積分 例

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