微分積分例

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 x - 1)}^{5} + 1}{5 x}$

ステップ 1

$\frac{1}{5}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{{(3 x - 1)}^{5} + 1}{x}$

ステップ 2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 x - 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 x - 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.2

極限べき乗則を利用して、指数 $5$ を ${(3 x - 1)}^{5}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 x - 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{5} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.1.6

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.2

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1.1

$3$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(0 - 1 \cdot 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(0 - 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$0$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{{(- 1)}^{5} + 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.1.3

$- 1$ を $5$ 乗します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 1 + 1}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.2.3.2

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

ステップ 2.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 x - 1)}^{5} + 1}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5} + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 2.3.1

分母と分子を微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5} + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.2

総和則では、 ${(3 x - 1)}^{5} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5}] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3

$\frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{5}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.3.1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 1$ とします。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 x - 1] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.2

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.6

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} (3 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.7

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 {(3 x - 1)}^{4} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.3.8

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4} + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.5

$15 {(3 x - 1)}^{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4}}{\frac{d}{d x} [x]}$

ステップ 2.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{15 {(3 x - 1)}^{4}}{1}$

ステップ 2.4

$15 {(3 x - 1)}^{4}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 15 {(3 x - 1)}^{4}$

ステップ 3

極限を求めます。

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ステップ 3.1

$15$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot 15 lim_{x \to 0} {(3 x - 1)}^{4}$

ステップ 3.2

極限べき乗則を利用して、指数 $4$ を ${(3 x - 1)}^{4}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(lim_{x \to 0} 3 x - 1)}^{4}$

ステップ 3.3

$x$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(lim_{x \to 0} 3 x - lim_{x \to 0} 1)}^{4}$

ステップ 3.4

$3$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(3 lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)}^{4}$

ステップ 3.5

$x$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(3 lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)}^{4}$

ステップ 4

$x$ を $0$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{5} \cdot 15 {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

ステップ 5

答えを簡約します。

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ステップ 5.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

$5$ を $15$ で因数分解します。

$\frac{1}{5} \cdot (5 (3)) {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

ステップ 5.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{5} \cdot (5 \cdot 3) {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

ステップ 5.1.3

式を書き換えます。

$3 {(3 \cdot 0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3$ に $0$ をかけます。

$3 {(0 - 1 \cdot 1)}^{4}$

ステップ 5.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 {(0 - 1)}^{4}$

ステップ 5.3

$0$ から $1$ を引きます。

$3 {(- 1)}^{4}$

ステップ 5.4

$- 1$ を $4$ 乗します。

$3 \cdot 1$

ステップ 5.5

$3$ に $1$ をかけます。

$3$

微分積分 例

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