微分積分例

$y = \sec (x) + \tan (x)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $\sec (x) + \tan (x)$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [\sec (x)] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$ です。

$\frac{d}{d y} [\sec (x)] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d y} [\sec (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (y) = \sec (y)$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

ステップ 3.2.1.2

$u_{1}$ に関する $\sec (u_{1})$ の微分係数は $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ です。

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

ステップ 3.2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$\sec (x) \tan (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\sec (x) \tan (x) x' + \frac{d}{d y} [\tan (x)]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d y} [\tan (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$f (y) = \tan (y)$ および $g (y) = x$ のとき、 $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ は $f' (g (y)) g' (y)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x$ とします。

$\sec (x) \tan (x) x' + \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.3.1.2

$u_{2}$ に関する $\tan (u_{2})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{2})$ です。

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) \frac{d}{d y} [x]$

ステップ 3.3.2

$\frac{d}{d y} [x]$ を $x'$ に書き換えます。

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$1 = \sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$

ステップ 5

$x'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x' = 1$ として書き換えます。

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x' = 1$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\sec (x) \tan (x) x' + \sec^{2} (x) x'$ の因数を並べ替えます。

$x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec^{2} (x) = 1$

ステップ 5.3

$x' \sec (x)$ を $x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$x' \sec (x)$ を $x' \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec (x) \sec (x) = 1$

ステップ 5.3.2

$x' \sec (x)$ を $x' \sec (x) \tan (x) + x' \sec (x) \sec (x)$ で因数分解します。

$x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$

ステップ 5.4

$x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$ の各項を $\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x)) = 1$ の各項を $\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))$ で割ります。

$\frac{x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$\sec (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

ステップ 5.4.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x' (\tan (x) + \sec (x))}{\tan (x) + \sec (x)} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

ステップ 5.4.2.2

$\tan (x) + \sec (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x' (\tan (x) + \sec (x))}{\tan (x) + \sec (x)} = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

ステップ 5.4.2.2.2

$x'$ を $1$ で割ります。

$x' = \frac{1}{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

分数を分解します。

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

ステップ 5.4.3.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

ステップ 5.4.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\cos (x)}$ で割ります。

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} (1 \cos (x))$

ステップ 5.4.3.4

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$x' = \frac{1}{\tan (x) + \sec (x)} \cos (x)$

ステップ 5.4.3.5

$\frac{1}{\tan (x) + \sec (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$x' = \frac{\cos (x)}{\tan (x) + \sec (x)}$

ステップ 6

$x'$ を $\frac{d x}{d y}$ で置き換えます。

$\frac{d x}{d y} = \frac{\cos (x)}{\tan (x) + \sec (x)}$

微分積分 例

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