微分積分例

$f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3} & x \neq - 3 \\ 9 & x = - 3 \end{cases}$

ステップ 1

$x$ が $- 3$ に近づくときの $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3}$ 極限を求めます。

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ステップ 1.1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 1.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + 6 x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

ステップ 1.1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

ステップ 1.1.1.2.2

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $x^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

ステップ 1.1.1.2.3

$6$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

ステップ 1.1.1.2.4

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $9$ の極限値を求めます。

$\frac{{(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

ステップ 1.1.1.2.5

すべての $x$ に $- 3$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.5.1

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 3)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

ステップ 1.1.1.2.5.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{{(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

ステップ 1.1.1.2.6

答えを簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.6.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.6.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{9 + 6 \cdot - 3 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

ステップ 1.1.1.2.6.1.2

$6$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{9 - 18 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

ステップ 1.1.1.2.6.2

$9$ から $18$ を引きます。

$\frac{- 9 + 9}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

ステップ 1.1.1.2.6.3

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

ステップ 1.1.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

極限を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1.1

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 3}$

ステップ 1.1.1.3.1.2

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x + 3}$

ステップ 1.1.1.3.2

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{- 3 + 3}$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.1.3.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 1.1.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

ステップ 1.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

ステップ 1.1.3.2

総和則では、 $x^{2} + 6 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

ステップ 1.1.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

ステップ 1.1.3.4

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.4.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

ステップ 1.1.3.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

ステップ 1.1.3.4.3

$6$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9]}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

ステップ 1.1.3.5

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

ステップ 1.1.3.6

$2 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x + 3]}$

ステップ 1.1.3.7

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]}$

ステップ 1.1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1 + \frac{d}{d x} [3]}$

ステップ 1.1.3.9

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1 + 0}$

ステップ 1.1.3.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to - 3} \frac{2 x + 6}{1}$

ステップ 1.1.4

$2 x + 6$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to - 3} 2 x + 6$

ステップ 1.2

極限を求めます。

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ステップ 1.2.1

$x$ が $- 3$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{x \to - 3} 2 x + lim_{x \to - 3} 6$

ステップ 1.2.2

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$2 lim_{x \to - 3} x + lim_{x \to - 3} 6$

ステップ 1.2.3

$x$ が $- 3$ に近づくと定数である $6$ の極限値を求めます。

$2 lim_{x \to - 3} x + 6$

ステップ 1.3

$x$ を $- 3$ に代入し、 $x$ の極限値を求めます。

$2 \cdot - 3 + 6$

ステップ 1.4

答えを簡約します。

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ステップ 1.4.1

$2$ に $- 3$ をかけます。

$- 6 + 6$

ステップ 1.4.2

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$0$

ステップ 2

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$9$

ステップ 3

$x$ が $- 3$ に近づくときの $\frac{x^{2} + 6 x + 9}{x + 3}$ の極限が、 $x = - 3$ における関数の値に等しくないので、関数は $x = - 3$ において連続ではありません。

連続ではない

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例