微分積分例

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) e^{\sin (2 x)} d x$

ステップ 1

$u_{2} = \sin (2 x)$ とします。次に $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ です。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u_{2} = \sin (2 x)$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sin (2 x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 1.1.3.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\cos (2 x) \cdot 2$

ステップ 1.1.3.3.2

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \cos (2 x)$

ステップ 1.2

$u_{2} = \sin (2 x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \sin (2 \cdot 0)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = \sin (0)$

ステップ 1.3.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u_{2} = \sin (2 x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

ステップ 1.5

簡約します。

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ステップ 1.5.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

ステップ 1.5.1.2

共通因数を約分します。

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

ステップ 1.5.1.3

式を書き換えます。

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 1.5.2

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

ステップ 2

$e^{u_{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

ステップ 3

$\frac{1}{2}$ は $u_{2}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 4

$e^{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $e^{u_{2}}$ です。

$\frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

ステップ 5

代入し簡約します。

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ステップ 5.1

$1$ および $0$ で $e^{u_{2}}$ の値を求めます。

$\frac{1}{2} ((e^{1}) - e^{0})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

簡約します。

$\frac{1}{2} (e - e^{0})$

ステップ 5.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{1}{2} (e - 1 \cdot 1)$

ステップ 5.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} (e - 1)$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} e + \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 6.2

$\frac{1}{2}$ と $e$ をまとめます。

$\frac{e}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

ステップ 6.3

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{e}{2} + \frac{- 1}{2}$

ステップ 6.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

10進法形式：

$0.85914091 \dots$

微分積分 例

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