微分積分例

$y = x^{2} {(2 x^{3} - 1)}^{3}$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(2 x^{3} - 1)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} - 1)}^{3}] + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = 2 x^{3} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x^{3} - 1$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $2 x^{3} - 1$ で置き換えます。

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1]) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $2 x^{3} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.4

$3$ に $2$ をかけます。

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2} + 0)) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.6

式を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} (3 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (6 x^{2})) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.6.2

$6$ に $3$ をかけます。

$x^{2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2} x^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{2} x^{2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x^{2 + 2} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + {(2 x^{3} - 1)}^{3} (2 x)$

ステップ 6

$2$ を ${(2 x^{3} - 1)}^{3}$ の左に移動させます。

$x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + 2 \cdot {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ を $x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2}) + 2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ を $x^{4} (18 {(2 x^{3} - 1)}^{2})$ で因数分解します。

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + 2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$

ステップ 7.1.2

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ を $2 {(2 x^{3} - 1)}^{3} x$ で因数分解します。

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 x^{3} - 1)$

ステップ 7.1.3

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2}$ を $x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9)) + x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (2 x^{3} - 1)$ で因数分解します。

$x \cdot 2 {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9) + 2 x^{3} - 1)$

ステップ 7.2

項をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$2 \cdot x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (x^{3} \cdot (9) + 2 x^{3} - 1)$

ステップ 7.2.2

$9$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$2 x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (9 \cdot x^{3} + 2 x^{3} - 1)$

ステップ 7.2.3

$9 x^{3}$ と $2 x^{3}$ をたし算します。

$2 x {(2 x^{3} - 1)}^{2} (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.3

${(2 x^{3} - 1)}^{2}$ を $(2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)$ に書き換えます。

$2 x ((2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.4

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x^{3} - 1) (2 x^{3} - 1)$ を展開します。

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ステップ 7.4.1

分配則を当てはめます。

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3} - 1) - 1 (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.4.2

分配則を当てはめます。

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3} - 1)) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.4.3

分配則を当てはめます。

$2 x (2 x^{3} (2 x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x (2 \cdot 2 x^{3} x^{3} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.5.1.2

指数を足して $x^{3}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$2 x (2 \cdot 2 (x^{3} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.5.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x (2 \cdot 2 x^{3 + 3} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.5.1.2.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$2 x (2 \cdot 2 x^{6} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.5.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x (4 x^{6} + 2 x^{3} \cdot - 1 - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.5.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 1 (2 x^{3}) - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.5.1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 2 x^{3} - 1 \cdot - 1) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.5.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 x (4 x^{6} - 2 x^{3} - 2 x^{3} + 1) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.5.2

$- 2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$2 x (4 x^{6} - 4 x^{3} + 1) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.6

分配則を当てはめます。

$(2 x (4 x^{6}) + 2 x (- 4 x^{3}) + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 x (- 4 x^{3}) + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.7.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot 1) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.7.3

$2$ に $1$ をかけます。

$(2 \cdot 4 x \cdot x^{6} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1

指数を足して $x$ に $x^{6}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1.1

$x^{6}$ を移動させます。

$(2 \cdot 4 (x^{6} x) + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.8.1.2

$x^{6}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(2 \cdot 4 (x^{6} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(2 \cdot 4 x^{6 + 1} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.8.1.3

$6$ と $1$ をたし算します。

$(2 \cdot 4 x^{7} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.8.2

$2$ に $4$ をかけます。

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x \cdot x^{3} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.8.3

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.1

$x^{3}$ を移動させます。

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 (x^{3} x) + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.8.3.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.8.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 (x^{3} x^{1}) + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.8.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x^{3 + 1} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.8.3.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$(8 x^{7} + 2 \cdot - 4 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.8.4

$2$ に $- 4$ をかけます。

$(8 x^{7} - 8 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$

ステップ 7.9

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(8 x^{7} - 8 x^{4} + 2 x) (11 x^{3} - 1)$ を展開します。

$8 x^{7} (11 x^{3}) + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.10.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 \cdot 11 x^{7} x^{3} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.2

指数を足して $x^{7}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.10.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$8 \cdot 11 (x^{3} x^{7}) + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 \cdot 11 x^{3 + 7} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.2.3

$3$ と $7$ をたし算します。

$8 \cdot 11 x^{10} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.3

$8$ に $11$ をかけます。

$88 x^{10} + 8 x^{7} \cdot - 1 - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.4

$- 1$ に $8$ をかけます。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 x^{4} (11 x^{3}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{4} x^{3} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.6

指数を足して $x^{4}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.10.6.1

$x^{3}$ を移動させます。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 (x^{3} x^{4}) - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.6.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{3 + 4} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.6.3

$3$ と $4$ をたし算します。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 8 \cdot 11 x^{7} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.7

$- 8$ に $11$ をかけます。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} - 8 x^{4} \cdot - 1 + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.8

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 x (11 x^{3}) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x \cdot x^{3} + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.10

指数を足して $x$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.10.10.1

$x^{3}$ を移動させます。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 (x^{3} x) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.10.2

$x^{3}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.10.10.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 (x^{3} x^{1}) + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.10.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x^{3 + 1} + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.10.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 2 \cdot 11 x^{4} + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.11

$2$ に $11$ をかけます。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} + 2 x \cdot - 1$

ステップ 7.10.12

$- 1$ に $2$ をかけます。

$88 x^{10} - 8 x^{7} - 88 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} - 2 x$

ステップ 7.11

$- 8 x^{7}$ から $88 x^{7}$ を引きます。

$88 x^{10} - 96 x^{7} + 8 x^{4} + 22 x^{4} - 2 x$

ステップ 7.12

$8 x^{4}$ と $22 x^{4}$ をたし算します。

$88 x^{10} - 96 x^{7} + 30 x^{4} - 2 x$

微分積分 例

微分積分例