微分積分例

$x^{4} + \sin (y) = x^{3} y^{2}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{4} + \sin (y)) = \frac{d}{d x} (x^{3} y^{2})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{4} + \sin (y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$4 x^{3} + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$4 x^{3} + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$4 x^{3} + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$4 x^{3} + \cos (y) y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3

$2$ を $x^{3}$ の左に移動させます。

$2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x^{3} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.5

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

ステップ 3.6

並べ替えます。

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ステップ 3.6.1

$3$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$2 x^{3} y y' + 3 \cdot y^{2} x^{2}$

ステップ 3.6.2

項を並べ替えます。

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$4 x^{3} + \cos (y) y' = 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$4 x^{3} + \cos (y) y'$ の因数を並べ替えます。

$4 x^{3} + y' \cos (y) = 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $2 x^{3} y y'$ を引きます。

$4 x^{3} + y' \cos (y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $4 x^{3}$ を引きます。

$y' \cos (y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

ステップ 5.4

$y'$ を $y' \cos (y) - 2 x^{3} y y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.4.1

$y'$ を $y' \cos (y)$ で因数分解します。

$y' (\cos (y)) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

ステップ 5.4.2

$y'$ を $- 2 x^{3} y y'$ で因数分解します。

$y' (\cos (y)) + y' (- 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

ステップ 5.4.3

$y'$ を $y' (\cos (y)) + y' (- 2 x^{3} y)$ で因数分解します。

$y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

ステップ 5.5

$y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ の各項を $\cos (y) - 2 x^{3} y$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.5.1

$y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ の各項を $\cos (y) - 2 x^{3} y$ で割ります。

$\frac{y' (\cos (y) - 2 x^{3} y)}{\cos (y) - 2 x^{3} y} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

ステップ 5.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.5.2.1

$\cos (y) - 2 x^{3} y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (\cos (y) - 2 x^{3} y)}{\cos (y) - 2 x^{3} y} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

ステップ 5.5.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

ステップ 5.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} - \frac{4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

ステップ 5.5.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

ステップ 5.5.3.3

$x^{2}$ を $3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.3.3.1

$x^{2}$ を $3 x^{2} y^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2}) - 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

ステップ 5.5.3.3.2

$x^{2}$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2}) + x^{2} (- 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

ステップ 5.5.3.3.3

$x^{2}$ を $x^{2} (3 y^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ で因数分解します。

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2} - 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 y^{2} - 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

微分積分 例

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