微分積分例

\int x^{2} arcsin (x) d x

$\int x^{2} \arcsin (x) d x$

ステップ 1

$u = \arcsin (x)$ と

$d v = x^{2}$ ならば、公式

$\int u d v = u v - \int v d u$ を利用して部分積分します。

$\arcsin (x) (\frac{1}{3} x^{3}) - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

ステップ 2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{1}{3}$ と

$x^{3}$ をまとめます。

$\arcsin (x) \frac{x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

ステップ 2.2

$\arcsin (x)$ と

$\frac{x^{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \int \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

ステップ 3

$\frac{1}{3}$ は

$x$ に対して定数なので、

$\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - (\frac{1}{3} \int x^{3} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x)$

ステップ 4

$x^{3}$ と

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

ステップ 5

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ である時に

$x = \sin (t)$ とします。次に

$d x = \cos (t) d t$ 。

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ なので、

$\cos (t)$ は正であることに注意します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

ステップ 6

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

ステップ 6.1.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

ステップ 6.2

$\cos (t)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin^{3} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

ステップ 6.2.2

式を書き換えます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \sin^{3} (t) d t$

ステップ 7

$\sin^{2} (t)$ を因数分解します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

ステップ 8

ピタゴラスの恒等式を利用して、

$\sin^{2} (t)$ を

$1 - \cos^{2} (t)$ に書き換えます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

ステップ 9

$u = \cos (t)$ とします。次に

$d u = - \sin (t) d t$ すると、

$- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ です。

$u$ と

$d$

$u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$u = \cos (t)$ とします。

$\frac{d u}{d t}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$\cos (t)$ を微分します。

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

ステップ 9.1.2

$t$ に関する

$\cos (t)$ の微分係数は

$- \sin (t)$ です。

$- \sin (t)$

ステップ 9.2

$u$ と

$d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \int - 1 + u^{2} d u$

ステップ 10

単一積分を複数積分に分割します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (\int - 1 d u + \int u^{2} d u)$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + C + \int u^{2} d u)$

ステップ 12

べき乗則では、

$u^{2}$ の

$u$ に関する積分は

$\frac{1}{3} u^{3}$ です。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

ステップ 13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

簡約します。

$\frac{1}{3} \arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

ステップ 13.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.1

$\frac{1}{3}$ と

$\arcsin (x)$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x)}{3} x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

ステップ 13.2.2

$\frac{\arcsin (x)}{3}$ と

$x^{3}$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) + C$

ステップ 13.2.3

$- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3})$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot \frac{3}{3} + C$

ステップ 13.2.4

$- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3})$ と

$\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3}}{3} + \frac{- \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 13.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{1}{3} u^{3}) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 13.2.6

$\frac{1}{3}$ と

$u^{3}$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - \frac{1}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3}) \cdot 3}{3} + C$

ステップ 13.2.7

$3$ に

$- 1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - 3 (\frac{1}{3}) (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

ステップ 13.2.8

$- 3$ と

$\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{- 3}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

ステップ 13.2.9

$- 3$ と

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.9.1

$3$ を

$- 3$ で因数分解します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

ステップ 13.2.9.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.2.9.2.1

$3$ を

$3$ で因数分解します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

ステップ 13.2.9.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

ステップ 13.2.9.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{- 1}{1} (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

ステップ 13.2.9.2.4

$- 1$ を

$1$ で割ります。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- u + \frac{u^{3}}{3})}{3} + C$

ステップ 14

各積分に置換変数を戻し入れます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$u$ のすべての発生を

$\cos (t)$ で置き換えます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \cos (t) + \frac{\cos^{3} (t)}{3})}{3} + C$

ステップ 14.2

$t$ のすべての発生を

$\arcsin (x)$ で置き換えます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \cos (\arcsin (x)) + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

ステップ 15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

交点

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、

$\arcsin (x)$ は正のx軸と、原点から始まって

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、

$\cos (\arcsin (x))$ は

$\sqrt{1 - x^{2}}$ です。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

ステップ 15.1.2

$1$ を

$1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{1^{2} - x^{2}} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

ステップ 15.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

$a = 1$ であり、

$b = x$ です。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} + \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3})}{3} + C$

ステップ 15.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} - - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.3

$- - \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + 1 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.3.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ に

$1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\cos^{3} (\arcsin (x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.1

交点

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、

$\arcsin (x)$ は正のx軸と、原点から始まって

$(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、

$\cos (\arcsin (x))$ は

$\sqrt{1 - x^{2}}$ です。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{1 - x^{2}}}^{3}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.2

$1$ を

$1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{3}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

$a = 1$ であり、

$b = x$ です。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{3}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.4

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{3}$ を

$\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{3}}$ に書き換えます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{3}}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.5

積の法則を

$(1 + x) (1 - x)$ に当てはめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.6

${(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}$ を

${((1 + x) (1 - x))}^{2} ((1 + x) (1 - x))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.6.1

${(1 + x)}^{2}$ を因数分解します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} (1 + x) {(1 - x)}^{3}}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.6.2

${(1 - x)}^{2}$ を因数分解します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} (1 + x) ({(1 - x)}^{2} (1 - x))}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.6.3

$1 + x$ を移動させます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} (1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.6.4

${(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}$ を

${((1 + x) (1 - x))}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{2} (1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.6.5

括弧を付けます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{{((1 + x) (1 - x))}^{2} ((1 + x) (1 - x))}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.7

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + x) (1 - x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.8

分配法則（FOIL法）を使って

$(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 (1 - x) + x (1 - x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.8.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.9

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.9.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.9.1.1

$1$ に

$1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.9.1.2

$- x$ に

$1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.9.1.3

$x$ に

$1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x + x (- x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.9.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - x \cdot x) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.9.1.5

指数を足して

$x$ に

$x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.9.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - (x \cdot x)) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.9.1.5.2

$x$ に

$x$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x + x - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.9.2

$- x$ と

$x$ をたし算します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 + 0 - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.9.3

$1$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{(1 - x^{2}) \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.10

分配則を当てはめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{1 \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.11

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ に

$1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.12

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.4.12.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 - x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.12.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を

$- x^{2} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ で因数分解します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- x^{2})}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.12.3

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 1 + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (- x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 - x^{2})}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.13

$1$ を

$1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1^{2} - x^{2})}{3}}{3} + C$

ステップ 15.4.14

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

$a = 1$ であり、

$b = x$ です。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

ステップ 15.5

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

ステップ 15.6

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ と

$\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3}{3} - \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

ステップ 15.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.8.1

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3 - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.8.1.1

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.1.2

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を

$- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} (1 + x) (1 - x)$ で因数分解します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((- 1 (1 + x)) (1 - x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.1.3

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3) + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} ((- 1 (1 + x)) (1 - x))$ で因数分解します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 (1 + x)) (1 - x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 \cdot 1 - 1 x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.3

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 - 1 x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.4

$- 1 x$ を

$- x$ に書き換えます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 + (- 1 - x) (1 - x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.5

分配法則（FOIL法）を使って

$(- 1 - x) (1 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.8.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 (1 - x) - x (1 - x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 \cdot 1 - 1 (- x) - x (1 - x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 \cdot 1 - 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.8.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.8.6.1.1

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 - 1 (- x) - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.6.1.2

$- 1 (- x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.8.6.1.2.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + 1 x - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.6.1.2.2

$x$ に

$1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x \cdot 1 - x (- x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.6.1.3

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - x (- x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.6.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.6.1.5

指数を足して

$x$ に

$x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.8.6.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.6.1.5.2

$x$ に

$x$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.6.1.6

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x + 1 x^{2})}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.6.1.7

$x^{2}$ に

$1$ をかけます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x - x + x^{2})}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.6.2

$x$ から

$x$ を引きます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + 0 + x^{2})}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.6.3

$- 1$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (3 - 1 + x^{2})}{3}}{3} + C$

ステップ 15.8.7

$3$ から

$1$ を引きます。

$\frac{\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (2 + x^{2})}{3}}{3} + C$

ステップ 16

項を並べ替えます。

$\frac{1}{3} (\arcsin (x) x^{3} + \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} (2 + x^{2})}{3}) + C$

微分積分 例

微分積分例