微分積分例

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{4} + 2 x^{2} + x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $- \frac{1}{3} x^{4} + 2 x^{2} + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- \frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{1}{3} x^{4}$ の微分係数は $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 (\frac{1}{3}) x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.5

$\frac{- 4}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{- 4 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{2}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + 1$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $- \frac{4 x^{3}}{3} + 4 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{3}}{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- \frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4 x^{3}}{3}$ の微分係数は $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 (\frac{4}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.4

$- 3$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.5

$- 3$ に $4$ をかけます。

$\frac{- 12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.6

$\frac{- 12}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{- 12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.7

$- 12$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.7.1

$3$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.2.7.2.4

$- 4 x^{2}$ を $1$ で割ります。

$- 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{2} + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$- 4 x^{2} + 4 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 x^{2} + 4 + 0$

ステップ 2.4.2

$- 4 x^{2} + 4$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 4 x^{2} + 4$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $- 4 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.2.3

$2$ に $- 4$ をかけます。

$- 8 x + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 3.3

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$- 8 x + 0$

ステップ 3.3.2

$- 8 x$ と $0$ をたし算します。

$f''' (x) = - 8 x$

ステップ 4

$x$ に関する $f (x)$ の三次導関数は $- 8 x$ です。

$- 8 x$

微分積分 例

微分積分例