微分積分例

$x^{3} \cdot e^{x^{2}}$

ステップ 1

$x^{3} \cdot e^{x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} \cdot e^{x^{2}}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int x^{3} \cdot e^{x^{2}} d x$

ステップ 4

$u = x^{2}$ とします。次に $d u = 2 x d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = x d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = x^{2}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$x^{2}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 4.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$\int u \cdot e^{u} \frac{1}{2} d u$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{2}$ と $u$ をまとめます。

$\int \frac{u}{2} e^{u} d u$

ステップ 5.2

$\frac{u}{2}$ と $e^{u}$ をまとめます。

$\int \frac{u e^{u}}{2} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int u e^{u} d u$

ステップ 7

$w = u$ と $dv = e^{u}$ ならば、公式 $\int w d v = w v - \int v d w$ を利用して部分積分します。

$\frac{1}{2} (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

ステップ 8

$e^{u}$ の $u$ に関する積分は $e^{u}$ です。

$\frac{1}{2} (u e^{u} - (e^{u} + C))$

ステップ 9

簡約します。

$\frac{1}{2} (u e^{u} - e^{u}) + C$

ステップ 10

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}} - e^{x^{2}}) + C$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}}) + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

ステップ 11.2

$\frac{1}{2} (x^{2} e^{x^{2}})$ を掛けます。

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ステップ 11.2.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{2}}{2} e^{x^{2}} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

ステップ 11.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ と $e^{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} + \frac{1}{2} (- e^{x^{2}}) + C$

ステップ 11.3

$\frac{1}{2}$ と $e^{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{x^{2} e^{x^{2}}}{2} - \frac{e^{x^{2}}}{2} + C$

ステップ 12

項を並べ替えます。

$\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = x^{3} \cdot e^{x^{2}}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} e^{x^{2}} - \frac{1}{2} e^{x^{2}} + C$

微分積分 例

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