微分積分例

$f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$

ステップ 1

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 2

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

ステップ 3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

ステップ 4

$u = x^{3} + 2003$ とします。次に $d u = 3 x^{2} d x$ すると、 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$u = x^{3} + 2003$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$x^{3} + 2003$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2003]$

ステップ 4.1.2

総和則では、 $x^{3} + 2003$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$

ステップ 4.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2003]$

ステップ 4.1.4

$2003$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2003$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} + 0$

ステップ 4.1.5

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$3 x^{2}$

ステップ 4.2

$u$ と $d u$ を利用して問題を書き換えます。

$3 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

ステップ 5

$\sin (u)$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$3 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{3}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{3}$ を積分の外に移動させます。

$3 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

ステップ 7.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

ステップ 7.2.2

式を書き換えます。

$1 \int \sin (u) d u$

ステップ 7.3

$\int \sin (u) d u$ に $1$ をかけます。

$\int \sin (u) d u$

ステップ 8

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$- \cos (u) + C$

ステップ 9

$u$ のすべての発生を $x^{3} + 2003$ で置き換えます。

$- \cos (x^{3} + 2003) + C$

ステップ 10

答えは関数 $f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$ の不定積分です。

$F (x) =$ $- \cos (x^{3} + 2003) + C$

微分積分 例

微分積分例