微分積分例

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} d x$

ステップ 1

$u = 1 + \cos (x)$ とします。次に $d u = - \sin (x) d x$ すると、 $- d u = \sin (x) d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$u = 1 + \cos (x)$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$1 + \cos (x)$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $1 + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$0 - \sin (x)$

ステップ 1.1.4

$0$ から $\sin (x)$ を引きます。

$- \sin (x)$

ステップ 1.2

$u = 1 + \cos (x)$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{lower} = 1 + 1$

ステップ 1.3.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$u_{lower} = 2$

ステップ 1.4

$u = 1 + \cos (x)$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

ステップ 1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

ステップ 1.5.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.5.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$u_{upper} = 1 - 1$

ステップ 1.5.2

$1$ から $1$ を引きます。

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{2}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

ステップ 2

分数を複数の分数に分割します。

$\int_{2}^{0} - \frac{1}{u} d u$

ステップ 3

$- 1$ は $u$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$- \int_{2}^{0} \frac{1}{u} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$- (\ln (| u |)]_{2}^{0})$

ステップ 5

$0$ および $2$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 2 |))$

ステップ 6

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 2 |})$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$- \ln (\frac{0}{| 2 |})$

ステップ 7.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$- \ln (\frac{0}{2})$

ステップ 7.3

$0$ を $2$ で割ります。

$- \ln (0)$

ステップ 7.4

0の自然対数は未定義です。

未定義

$- \ln (0)$

ステップ 8

0の自然対数は未定義です。

未定義

微分積分 例

微分積分例