微分積分例

$\sum_{k = 1}^{20} 100 (k^{2} - 5 k + 1)$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

分配則を当てはめます。

$100 k^{2} + 100 (- 5 k) + 100 \cdot 1$

ステップ 1.2

簡約します。

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ステップ 1.2.1

$- 5$ に $100$ をかけます。

$100 k^{2} - 500 k + 100 \cdot 1$

ステップ 1.2.2

$100$ に $1$ をかけます。

$100 k^{2} - 500 k + 100$

ステップ 1.3

総和を書き換えます。

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100 = 100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2} - 500 \sum_{k = 1}^{20} k + \sum_{k = 1}^{20} 100$

ステップ 3

$100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 3.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(100) (\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6})$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$20$ と $1$ をたし算します。

$100 \frac{20 \cdot 21 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

ステップ 3.3.1.2

指数をまとめます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$20$ に $21$ をかけます。

$100 \frac{420 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

ステップ 3.3.1.2.2

$2$ に $20$ をかけます。

$100 \frac{420 (40 + 1)}{6}$

ステップ 3.3.1.3

$40$ と $1$ をたし算します。

$100 \frac{420 \cdot 41}{6}$

ステップ 3.3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$420$ に $41$ をかけます。

$100 (\frac{17220}{6})$

ステップ 3.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$2$ を $100$ で因数分解します。

$2 (50) \frac{17220}{6}$

ステップ 3.3.2.2.2

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.2.2.4

式を書き換えます。

$50 (\frac{17220}{3})$

ステップ 3.3.2.3

$50$ と $\frac{17220}{3}$ をまとめます。

$\frac{50 \cdot 17220}{3}$

ステップ 3.3.2.4

式を簡約します。

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ステップ 3.3.2.4.1

$50$ に $17220$ をかけます。

$\frac{861000}{3}$

ステップ 3.3.2.4.2

$861000$ を $3$ で割ります。

$287000$

ステップ 4

$500 \sum_{k = 1}^{20} k$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 4.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 500) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

ステップ 4.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$20$ と $1$ をたし算します。

$- 500 \frac{20 \cdot 21}{2}$

ステップ 4.3.1.2

$20$ に $21$ をかけます。

$- 500 (\frac{420}{2})$

ステップ 4.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$2$ を $- 500$ で因数分解します。

$2 (- 250) \frac{420}{2}$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 250 \frac{420}{2}$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$- 250 \cdot 420$

ステップ 4.3.3

$- 250$ に $420$ をかけます。

$- 105000$

ステップ 5

$\sum_{k = 1}^{20} 100$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 5.2

値を公式に代入します。

$(100) (20)$

ステップ 5.3

$100$ に $20$ をかけます。

$2000$

ステップ 6

合計した結果を足します。

$287000 - 105000 + 2000$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$287000$ から $105000$ を引きます。

$182000 + 2000$

ステップ 7.2

$182000$ と $2000$ をたし算します。

$184000$

微分積分 例

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