微分積分例

$e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$

ステップ 1

$e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$

ステップ 2

関数 $F (x)$ は、微分係数 $f (x)$ の不定積分を求めることで求められます。

$F (x) = \int f (x) d x$

ステップ 3

積分を設定し解きます。

$F (x) = \int e^{2 x} + \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 4

単一積分を複数積分に分割します。

$\int e^{2 x} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 5

$u_{1} = 2 x$ とします。次に $d u_{1} = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ です。 $u_{1}$ と $d$ $u_{1}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 5.1

$u_{1} = 2 x$ とします。 $\frac{d u_{1}}{d x}$ を求めます。

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ステップ 5.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 5.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 5.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 5.2

$u_{1}$ と $d u_{1}$ を利用して問題を書き換えます。

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 6

$e^{u_{1}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 7

$\frac{1}{2}$ は $u_{1}$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 8

$e^{u_{1}}$ の $u_{1}$ に関する積分は $e^{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x$

ステップ 9

$u_{2} = x + 1$ とします。次に $d u_{2} = d x$ 。 $u_{2}$ と $d$ $u_{2}$ を利用して書き換えます。

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ステップ 9.1

$u_{2} = x + 1$ とします。 $\frac{d u_{2}}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$x + 1$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

ステップ 9.1.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 9.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 9.1.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 9.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 9.2

$u_{2}$ と $d u_{2}$ を利用して問題を書き換えます。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

ステップ 10

$\frac{1}{u_{2}}$ の $u_{2}$ に関する積分は $\ln (| u_{2} |)$ です。

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 11

簡約します。

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 12

各積分に置換変数を戻し入れます。

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ステップ 12.1

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| u_{2} |) + C$

ステップ 12.2

$u_{2}$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x + 1 |) + C$

ステップ 13

答えは関数 $f (x) = e^{2 x} + \frac{1}{x + 1}$ の不定積分です。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} e^{2 x} + \ln (| x + 1 |) + C$

微分積分 例

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