微分積分例

$\arcsin (x)$

ステップ 1

$x$ に関する $\arcsin (x)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ です。

$f' (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 - x^{2}}$ を ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

ステップ 2.1.3

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

ステップ 2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}}]$

ステップ 2.1.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $1 - x^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$n = - \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $1 - x^{2}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.6.2

$- 1$ から $2$ を引きます。

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.7

分数をまとめます。

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ステップ 2.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.7.2

${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 - x^{2})}^{- \frac{3}{2}}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

ステップ 2.8

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.9

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 2.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 2.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.12

掛け算します。

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ステップ 2.12.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.12.2

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (2 x)$

ステップ 2.14

項を簡約します。

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ステップ 2.14.1

$2$ と $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} x$

ステップ 2.14.2

$\frac{2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.14.3

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.14.4

式を書き換えます。

$\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2.14.5

項を並べ替えます。

$f'' (x) = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

微分積分 例

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