微分積分例

$y = 1 + 3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $1 + 3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$

ステップ 1.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$ です。

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\sin (2 (x + \frac{π}{2}))]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 (x + \frac{π}{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 (x + \frac{π}{2})$ とします。

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 (x + \frac{π}{2})])$

ステップ 1.2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$0 + 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 (x + \frac{π}{2})])$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 (x + \frac{π}{2})$ で置き換えます。

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) \frac{d}{d x} [2 (x + \frac{π}{2})])$

ステップ 1.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 (x + \frac{π}{2})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$ です。

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]))$

ステップ 1.2.4

総和則では、 $x + \frac{π}{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ です。

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])))$

ステップ 1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])))$

ステップ 1.2.6

$\frac{π}{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $\frac{π}{2}$ の微分係数は $0$ です。

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 (1 + 0)))$

ステップ 1.2.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) (2 \cdot 1))$

ステップ 1.2.8

$2$ に $1$ をかけます。

$0 + 3 (\cos (2 (x + \frac{π}{2})) \cdot 2)$

ステップ 1.2.9

$2$ を $\cos (2 (x + \frac{π}{2}))$ の左に移動させます。

$0 + 3 (2 \cdot \cos (2 (x + \frac{π}{2})))$

ステップ 1.2.10

$2$ に $3$ をかけます。

$0 + 6 \cos (2 (x + \frac{π}{2}))$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$0 + 6 \cos (2 x + 2 \frac{π}{2})$

ステップ 1.3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.1

$2$ と $\frac{π}{2}$ をまとめます。

$0 + 6 \cos (2 x + \frac{2 π}{2})$

ステップ 1.3.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$0 + 6 \cos (2 x + \frac{2 π}{2})$

ステップ 1.3.2.2.2

$π$ を $1$ で割ります。

$0 + 6 \cos (2 x + π)$

ステップ 1.3.2.3

$0$ と $6 \cos (2 x + π)$ をたし算します。

$6 \cos (2 x + π)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 \cos (2 x + π)$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\cos (2 x + π)]$ です。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (\cos (2 x + π))$

ステップ 2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x + π$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + π$ とします。

$f'' (x) = 6 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (x) = 6 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x + π$ で置き換えます。

$f'' (x) = 6 (- \sin (2 x + π) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 (\sin (2 x + π) \frac{d}{d x} (2 x + π))$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $2 x + π$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [π]$ です。

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (π))$

ステップ 2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (π))$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (π))$

ステップ 2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 + \frac{d}{d x} (π))$

ステップ 2.3.6

$π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $π$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) (2 + 0)$

ステップ 2.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 6 \sin (2 x + π) \cdot 2$

ステップ 2.3.7.2

$2$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (x) = - 12 \sin (2 x + π)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$6 \cos (2 x + π) = 0$

ステップ 4

$6 \cos (2 x + π) = 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$6 \cos (2 x + π) = 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 \cos (2 x + π)}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 \cos (2 x + π)}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 4.2.1.2

$\cos (2 x + π)$ を $1$ で割ります。

$\cos (2 x + π) = \frac{0}{6}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$\cos (2 x + π) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x + π = \arccos (0)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$2 x + π = \frac{π}{2}$

ステップ 7

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の両辺から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{π}{2} - π$

ステップ 7.2

$- π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = \frac{π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 7.3

$- π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

ステップ 7.4

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{π - π \cdot 2}{2}$

ステップ 7.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x = \frac{π - 2 π}{2}$

ステップ 7.5.2

$π$ から $2 π$ を引きます。

$2 x = \frac{- π}{2}$

ステップ 7.6

分数の前に負数を移動させます。

$2 x = - \frac{π}{2}$

ステップ 8

$2 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$2 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

ステップ 8.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

ステップ 8.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 8.3.2

$- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{π}{2}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 8.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 9

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$2 x + π = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 10

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x + π = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 10.1.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x + π = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 10.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$2 x + π = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 10.1.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x + π = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 10.1.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$2 x + π = \frac{3 π}{2}$

ステップ 10.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

方程式の両辺から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{3 π}{2} - π$

ステップ 10.2.2

$- π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = \frac{3 π}{2} - π \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 10.2.3

$- π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{3 π}{2} + \frac{- π \cdot 2}{2}$

ステップ 10.2.4

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{3 π - π \cdot 2}{2}$

ステップ 10.2.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x = \frac{3 π - 2 π}{2}$

ステップ 10.2.5.2

$3 π$ から $2 π$ を引きます。

$2 x = \frac{π}{2}$

ステップ 10.3

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 10.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 10.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 10.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 10.3.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 10.3.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 11

方程式 $2 x + π = \frac{π}{2}$ に対する解です。

$x = - \frac{π}{4}, \frac{π}{4}$

ステップ 12

$x = - \frac{π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 \sin (2 (- \frac{π}{4}) + π)$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1.1

$- \frac{π}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 12 \sin (2 \frac{- π}{4} + π)$

ステップ 13.1.1.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 12 \sin (2 \frac{- π}{2 (2)} + π)$

ステップ 13.1.1.3

共通因数を約分します。

$- 12 \sin (2 \frac{- π}{2 \cdot 2} + π)$

ステップ 13.1.1.4

式を書き換えます。

$- 12 \sin (\frac{- π}{2} + π)$

ステップ 13.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- 12 \sin (- \frac{π}{2} + π)$

ステップ 13.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 12 \sin (- \frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 13.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.3.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 12 \sin (- \frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

ステップ 13.3.2

公分母の分子をまとめます。

$- 12 \sin (\frac{- π + π \cdot 2}{2})$

ステップ 13.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.4.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$- 12 \sin (\frac{- π + 2 \cdot π}{2})$

ステップ 13.4.2

$- π$ と $2 π$ をたし算します。

$- 12 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 13.5

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 12 \cdot 1$

ステップ 13.6

$- 12$ に $1$ をかけます。

$- 12$

ステップ 14

$x = - \frac{π}{4}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = - \frac{π}{4}$ は極大値です

ステップ 15

$x = - \frac{π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $- \frac{π}{4}$ で置換えます。

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{2}))$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (- \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

ステップ 15.2.1.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (- \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

ステップ 15.2.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (- \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

ステップ 15.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{- π + π \cdot 2}{4}))$

ステップ 15.2.1.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.4.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{- π + 2 \cdot π}{4}))$

ステップ 15.2.1.4.2

$- π$ と $2 π$ をたし算します。

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4}))$

ステップ 15.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

ステップ 15.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

ステップ 15.2.1.5.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

ステップ 15.2.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3 \cdot 1$

ステップ 15.2.1.7

$3$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{π}{4}) = 1 + 3$

ステップ 15.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$f (- \frac{π}{4}) = 4$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $4$ です。

$y = 4$

ステップ 16

$x = \frac{π}{4}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 12 \sin (2 (\frac{π}{4}) + π)$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 12 \sin (2 \frac{π}{2 (2)} + π)$

ステップ 17.1.2

共通因数を約分します。

$- 12 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2} + π)$

ステップ 17.1.3

式を書き換えます。

$- 12 \sin (\frac{π}{2} + π)$

ステップ 17.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- 12 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 17.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- 12 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

ステップ 17.3.2

公分母の分子をまとめます。

$- 12 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

ステップ 17.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$- 12 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

ステップ 17.4.2

$π$ と $2 π$ をたし算します。

$- 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 17.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$- 12 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 17.6

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$- 12 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 17.7

$- 12 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 12 \cdot - 1$

ステップ 17.7.2

$- 12$ に $- 1$ をかけます。

$12$

ステップ 18

$x = \frac{π}{4}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{4}$ は極小値です

ステップ 19

$x = \frac{π}{4}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 ((\frac{π}{4}) + \frac{π}{2}))$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

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ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 19.2.1.1

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

ステップ 19.2.1.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 19.2.1.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

ステップ 19.2.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

ステップ 19.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π + π \cdot 2}{4}))$

ステップ 19.2.1.4

分子を簡約します。

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ステップ 19.2.1.4.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π + 2 \cdot π}{4}))$

ステップ 19.2.1.4.2

$π$ と $2 π$ をたし算します。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

ステップ 19.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 19.2.1.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

ステップ 19.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

ステップ 19.2.1.5.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

ステップ 19.2.1.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

ステップ 19.2.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 19.2.1.8

$3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 19.2.1.8.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \cdot - 1$

ステップ 19.2.1.8.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{π}{4}) = 1 - 3$

ステップ 19.2.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{π}{4}) = - 2$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 20

$f (x) = 1 + 3 \sin (2 (x + \frac{π}{2}))$ の極値です。

$(- \frac{π}{4}, 4)$ は極大値です

$(\frac{π}{4}, - 2)$ は極小値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例