微分積分例

$\int \frac{(x + 1) (x - 2)}{\sqrt{x}} d x$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\int \frac{(x + 1) (x - 2)}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ステップ 2

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$\int (x + 1) (x - 2) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

ステップ 3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\int (x + 1) (x - 2) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

ステップ 3.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$\int (x + 1) (x - 2) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

ステップ 3.3

分数の前に負数を移動させます。

$\int (x + 1) (x - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4

$(x + 1) (x - 2) x^{- \frac{1}{2}}$ を展開します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\int (x (x - 2) + 1 (x - 2)) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$\int (x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (x - 2)) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$\int (x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.4

分配則を当てはめます。

$\int (x \cdot x + x \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} + (1 x + 1 \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.5

分配則を当てはめます。

$\int x \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + x \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} + (1 x + 1 \cdot - 2) x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.6

分配則を当てはめます。

$\int x \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + x \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.7

$x$ と $- 2$ を並べ替えます。

$\int x \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 \cdot x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.8

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{1} x \cdot x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.9

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{1} x^{1} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{1 + 1} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.11

$1$ と $1$ をたし算します。

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.12

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.13

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.14

$2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.15

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.16

分子を簡約します。

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ステップ 4.16.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.16.2

$4$ から $1$ を引きます。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.17

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.18

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.19

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.20

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.21

$2$ から $1$ を引きます。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + 1 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.22

$x$ に $1$ をかけます。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.23

$x$ を $1$ 乗します。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{1} x^{- \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.24

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{1 - \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.25

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.26

公分母の分子をまとめます。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.27

$2$ から $1$ を引きます。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} + 1 \cdot - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.28

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\int x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 4.29

$- 2 x^{\frac{1}{2}}$ と $x^{\frac{1}{2}}$ をたし算します。

$\int x^{\frac{3}{2}} - x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$\int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 6

べき乗則では、 $x^{\frac{3}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ です。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 7

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $- 1$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{\frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ です。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 2 x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 9

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

ステップ 10

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

簡約します。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ステップ 11.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + C$

微分積分 例

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