微分積分例

$y = x^{2^{x}}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2^{x}})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$x^{2^{x}}$ を $e^{\ln (x^{2^{x}})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{2^{x}})}]$

ステップ 3.1.2

$2^{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (x^{2^{x}})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{2^{x} \ln (x)}]$

ステップ 3.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2^{x} \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2^{x} \ln (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

ステップ 3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $2^{x} \ln (x)$ で置き換えます。

$e^{2^{x} \ln (x)} \frac{d}{d x} [2^{x} \ln (x)]$

ステップ 3.3

$f (x) = 2^{x}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{2^{x} \ln (x)} (2^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

ステップ 3.4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$e^{2^{x} \ln (x)} (2^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

ステップ 3.5

$2^{x}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$e^{2^{x} \ln (x)} (\frac{2^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [2^{x}])$

ステップ 3.6

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{2^{x} \ln (x)} (\frac{2^{x}}{x} + \ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

ステップ 3.7

簡約します。

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ステップ 3.7.1

分配則を当てはめます。

$e^{2^{x} \ln (x)} \frac{2^{x}}{x} + e^{2^{x} \ln (x)} (\ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

ステップ 3.7.2

$e^{2^{x} \ln (x)}$ と $\frac{2^{x}}{x}$ をまとめます。

$\frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x} + e^{2^{x} \ln (x)} (\ln (x) (2^{x} \ln (2)))$

ステップ 3.7.3

項を並べ替えます。

$2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 2^{x} e^{2^{x} \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + \frac{e^{2^{x} \ln (x)} \cdot 2^{x}}{x}$

微分積分 例

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