微分積分例

$y = e^{x^{2} - 1}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 1})$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2} - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} - 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} - 1$ で置き換えます。

$e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 3.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

ステップ 3.2.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$ の因数を並べ替えます。

$2 e^{x^{2} - 1} x$

ステップ 3.3.2

$2 e^{x^{2} - 1} x$ の因数を並べ替えます。

$2 x e^{x^{2} - 1}$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = 2 x e^{x^{2} - 1}$

ステップ 5

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x e^{x^{2} - 1}$

微分積分 例

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