微分積分例

$y = 1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

ステップ 1.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$ です。

$0 - 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 (x - \frac{π}{3}))]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 3 (x - \frac{π}{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 (x - \frac{π}{3})$ とします。

$0 - 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

ステップ 1.2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$0 - 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 (x - \frac{π}{3})$ で置き換えます。

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) \frac{d}{d x} [3 (x - \frac{π}{3})])$

ステップ 1.2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 (x - \frac{π}{3})$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]$ です。

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{3}]))$

ステップ 1.2.4

総和則では、 $x - \frac{π}{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}]$ です。

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}])))$

ステップ 1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{3}])))$

ステップ 1.2.6

$- \frac{π}{3}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{3}$ の微分係数は $0$ です。

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 (1 + 0)))$

ステップ 1.2.7

$1$ と $0$ をたし算します。

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) (3 \cdot 1))$

ステップ 1.2.8

$3$ に $1$ をかけます。

$0 - 3 (- \sin (3 (x - \frac{π}{3})) \cdot 3)$

ステップ 1.2.9

$3$ に $- 1$ をかけます。

$0 - 3 (- 3 \sin (3 (x - \frac{π}{3})))$

ステップ 1.2.10

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$0 + 9 \sin (3 (x - \frac{π}{3}))$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$0 + 9 \sin (3 x + 3 (- \frac{π}{3}))$

ステップ 1.3.2

項をまとめます。

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ステップ 1.3.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$0 + 9 \sin (3 x - 3 \frac{π}{3})$

ステップ 1.3.2.2

$- 3$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{- 3 π}{3})$

ステップ 1.3.2.3

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.1

$3$ を $- 3 π$ で因数分解します。

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3})$

ステップ 1.3.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.2.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3 (1)})$

ステップ 1.3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{3 (- π)}{3 \cdot 1})$

ステップ 1.3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$0 + 9 \sin (3 x + \frac{- π}{1})$

ステップ 1.3.2.3.2.4

$- π$ を $1$ で割ります。

$0 + 9 \sin (3 x - π)$

ステップ 1.3.2.4

$0$ と $9 \sin (3 x - π)$ をたし算します。

$9 \sin (3 x - π)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 \sin (3 x - π)$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [\sin (3 x - π)]$ です。

$f'' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\sin (3 x - π))$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x - π$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - π$ とします。

$f'' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = 9 (\cos (u) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - π$ で置き換えます。

$f'' (x) = 9 (\cos (3 x - π) \frac{d}{d x} (3 x - π))$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

総和則では、 $3 x - π$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ です。

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

ステップ 2.3.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

ステップ 2.3.4

$3$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 + \frac{d}{d x} (- π))$

ステップ 2.3.5

$- π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- π$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) (3 + 0)$

ステップ 2.3.6

式を簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 9 \cos (3 x - π) \cdot 3$

ステップ 2.3.6.2

$3$ に $9$ をかけます。

$f'' (x) = 27 \cos (3 x - π)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$9 \sin (3 x - π) = 0$

ステップ 4

$9 \sin (3 x - π) = 0$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$9 \sin (3 x - π) = 0$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 \sin (3 x - π)}{9} = \frac{0}{9}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 \sin (3 x - π)}{9} = \frac{0}{9}$

ステップ 4.2.1.2

$\sin (3 x - π)$ を $1$ で割ります。

$\sin (3 x - π) = \frac{0}{9}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ を $9$ で割ります。

$\sin (3 x - π) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$3 x - π = \arcsin (0)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$3 x - π = 0$

ステップ 7

方程式の両辺に $π$ を足します。

$3 x = π$

ステップ 8

$3 x = π$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$3 x = π$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{π}{3}$

ステップ 8.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 9

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$3 x - π = π - 0$

ステップ 10

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$π$ から $0$ を引きます。

$3 x - π = π$

ステップ 10.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

方程式の両辺に $π$ を足します。

$3 x = π + π$

ステップ 10.2.2

$π$ と $π$ をたし算します。

$3 x = 2 π$

ステップ 10.3

$3 x = 2 π$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$3 x = 2 π$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 10.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 10.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 11

方程式 $3 x - π = 0$ に対する解です。

$x = \frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}$

ステップ 12

$x = \frac{π}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$27 \cos (3 (\frac{π}{3}) - π)$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

共通因数を約分します。

$27 \cos (3 \frac{π}{3} - π)$

ステップ 13.1.2

式を書き換えます。

$27 \cos (π - π)$

ステップ 13.2

$π$ から $π$ を引きます。

$27 \cos (0)$

ステップ 13.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$27 \cdot 1$

ステップ 13.4

$27$ に $1$ をかけます。

$27$

ステップ 14

$x = \frac{π}{3}$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{3}$ は極小値です

ステップ 15

$x = \frac{π}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 ((\frac{π}{3}) - \frac{π}{3}))$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π - π}{3}))$

ステップ 15.2.1.2

$π$ から $π$ を引きます。

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{0}{3}))$

ステップ 15.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{0}{3}))$

ステップ 15.2.1.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cos (0)$

ステップ 15.2.1.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3 \cdot 1$

ステップ 15.2.1.5

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{3}) = 1 - 3$

ステップ 15.2.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{π}{3}) = - 2$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$y = - 2$

ステップ 16

$x = \frac{2 π}{3}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$27 \cos (3 (\frac{2 π}{3}) - π)$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1.1

共通因数を約分します。

$27 \cos (3 \frac{2 π}{3} - π)$

ステップ 17.1.2

式を書き換えます。

$27 \cos (2 π - π)$

ステップ 17.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$27 \cos (π)$

ステップ 17.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$27 (- \cos (0))$

ステップ 17.4

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$27 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 17.5

$27 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.5.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$27 \cdot - 1$

ステップ 17.5.2

$27$ に $- 1$ をかけます。

$- 27$

ステップ 18

$x = \frac{2 π}{3}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{2 π}{3}$ は極大値です

ステップ 19

$x = \frac{2 π}{3}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $\frac{2 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 ((\frac{2 π}{3}) - \frac{π}{3}))$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{2 π - π}{3}))$

ステップ 19.2.1.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

ステップ 19.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (3 (\frac{π}{3}))$

ステップ 19.2.1.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cos (π)$

ステップ 19.2.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 (- \cos (0))$

ステップ 19.2.1.5

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 19.2.1.6

$- 3 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 - 3 \cdot - 1$

ステップ 19.2.1.6.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{2 π}{3}) = 1 + 3$

ステップ 19.2.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$f (\frac{2 π}{3}) = 4$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $4$ です。

$y = 4$

ステップ 20

$f (x) = 1 - 3 \cos (3 (x - \frac{π}{3}))$ の極値です。

$(\frac{π}{3}, - 2)$ は極小値です

$(\frac{2 π}{3}, 4)$ は極大値です

ステップ 21

微分積分 例

微分積分例